Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Origem do Exercício

Seja a função f x , y , z = x - y 2 + z 2 . Encontre ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z .

Passo 1

Beleza, nosso problema é basicamente calcular três derivadas. Vamos começar derivando em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ( x - y 2 + z 2 )

Lembre-se: quando derivamos em relação a x , podemos pensar nas outras variáveis como se fossem constantes!

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x - ∂ ∂ x y 2 + ∂ ∂ x z 2

E as derivadas de todas as “constantes” é zero:

∂ f ∂ x = 1 - 0 + 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos seguir o mesmo procedimento para a derivada em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ( x - y 2 + z 2 )

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x - ∂ ∂ y y 2 + ∂ ∂ y z 2

∂ f ∂ y = 0 - 2 y + 0 = - 2 y

Passo 3

E depois a mesma coisa para z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z ( x - y 2 + z 2 )

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x - ∂ ∂ z y 2 + ∂ ∂ z z 2

∂ f ∂ z = 0 - 0 + 2 z = 2 z

Resposta

Os valores de ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z são 1 , - 2 y e 2 z , respectivamente.

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