Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

USP, Cálculo 2, P2 - 2018, Questão ME8

Seja

f x , y = y - 3 2 e x 2 α y

Onde y > 0 . O valor da constante α para que f satisfaça a equação

f y = - 1 x 2 x x 2 f x   ,   x 0  

É:

  1. α = 4
  2. α = - 4
  3. α = 2
  4. α = - 2
  5. I n e x i s t e n t e

Passo 1

Vamos derivar f em relação a y .

Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

f y = - 3 2 y - 5 2 e x 2 α y + y - 3 2 e x 2 α y - x 2 α y 2

Arrumando um pouco melhor essa bagunça:

f y = - 3 e x 2 α y 2 y 5 2 - x 2 α y 7 2 e x 2 α y

Colocando - e x 2 α y em evidencia:

f y = - e x 2 α y 3 2 y 5 2 + x 2 α y 7 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para comparar com a expressão de f y que a questão deu pra gente, vamos precisar fazer também a derivada parcial em relação a x .

Vamos lá, usando a regra da cadeia:

f x = y - 3 2 e x 2 α y 2 x α y

Organizando melhor:

f x = 2 x α y 5 2 e x 2 α y

Passo 3

Agora substituindo na expressão da questão:

f y = - 1 x 2 x x 2 f x

f y = - 1 x 2 x x 2 2 x α y 5 2 e x 2 α y

f y = - 1 x 2 x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y

Passo 4

Agora vamos precisar derivar esses parênteses ai em relação a x .

Para isso, vamos usar a regra do produto e regra da cadeia:

x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = 6 x 2 α y 5 2 e x 2 α y + 2 x 3 α y 5 2 2 x α y e x 2 α y

x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = 6 x 2 α y 5 2 e x 2 α y + 4 x 4 α y 7 2 e x 2 α y

Colocando x 2 e x 2 α y em evidencia:

x 2 x 3 α y 5 2 e x 2 α y = x 2 e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

Passo 5

Agora voltando lá na expressão da questão, temos:

f y = - 1 x 2 x x 2 f x

Substituindo o que achamos até aqui:

f y = - 1 x 2 x 2 e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

f y = - e x 2 α y 6 α y 5 2 + 4 x 2 α y 7 2

f y = - 2 e x 2 α y 3 α y 5 2 + 2 x 2 α y 7 2

Fazendo o mmc:

f y = - 2 e x 2 α y 3 α y 7 2 - 5 2 + 2 x 2 α 2 y 7 2

f y = - 2 e x 2 α y 3 α y + 2 x 2 α 2 y 7 2

Passo 6

Agora vamos comparar com o que achamos quando calculamos diretamente a derivada parcial de f em relação a y :

f y = - e x 2 α y 3 2 y 5 2 + x 2 α y 7 2

Fazendo o mmc:

f y = - e x 2 α y 3 α y 7 2 - 5 2 + x 2 2 α y 7 2

f y = - e x 2 α y 3 α y + x 2 2 α y 7 2

Comparando essa expressão com a expressão final do passo 6, temos que para elas serem iguais é preciso que

1 2 α = 2 α 2

Assim

α = 4

Resposta

L e t r a   a

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