Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 9

Sejam g e h funções de classe C ¹ em R 2 e

f x , y = g x , y h x , y

Assuma que

g 1,2 = 2

h 1,2 = - 2

g x 1,2 = - 1

g y 1,2 = 3

h x 1,2 = 5

h y 1,2 = 0

Encontre f x ( 1,2 ) e f y ( 1,2 )

Passo 1

Hum, parece difícil derivar essa função aí, né? Temos uma função elevada a outra função, OMG!

Vamos usar aqui a derivação logarítmica. É assim:

Temos

f x , y = g x , y h x , y

Usando o l n dos dois lados:

ln ⁡ f = ln ⁡ g h

Pela propriedade da função logarítmica, podemos fazer:

ln ⁡ f = h ∙ ln ⁡ g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos aplicar a derivada dos dois lados:

ln ⁡ f ' = h ∙ ln ⁡ g '

Para isso, vamos usar regra da cadeia e regra do produto.

1 f . f ' = h ' . ln ⁡ g + h . ln ⁡ g '

f ' f = h ' . ln ⁡ g + h . 1 g . g '

f ' = f . h ' . ln ⁡ g + h . g ' g

Passo 3

Beleza, fizemos a derivada de uma maneira genérica. Mas, nossas funções são funções de duas variáveis, então precisamos usar derivadas parciais.

Vamos começar por f x . Para isso, em todo lugar que tem uma derivada, temos que substituir pela derivada parcial da função em relação a x .

f x = f x , y ∙ ( h x ∙ ln ⁡ g x , y + h x , y ∙ g x g x , y

Tranquilo?

Substituindo no ponto ( 1,2 ) , temos

f x ( 1,2 ) = f 1,2 ∙ ( h x ( 1,2 ) ∙ ln ⁡ g 1,2 + h 1,2 ∙ g x ( 1,2 ) g 1,2

Passo 4

Beleza, a princípio agora só precisamos substituir os dados que o problema nos deu. Mas antes, lembre-se que

f x , y = g x , y h x , y

f 1 , 2 = g 1 , 2 h 1 , 2 = 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Show, substituindo tudo:

f x ( 1,2 ) = f 1,2 ∙ ( h x ( 1,2 ) ∙ ln ⁡ g 1,2 + h 1,2 ∙ g x ( 1,2 ) g 1,2

f x ( 1,2 ) = 1 4 ∙ ( 5 ∙ ln ⁡ 2 + ( - 2 ) ∙ ( - 1 ) 2

f x 1,2 = 1 4 ∙ 5 ∙ ln ⁡ 2 + 1

Passo 5

Pronto, agora acabou o mistério. Só fazer a mesma coisa para f y . Temos

f ' = f . h ' . ln ⁡ g + h . g ' g

Trocando essas derivadas por derivadas parciais em relação a y :

f y = f x , y ∙ ( h y ∙ ln ⁡ g x , y + h x , y ∙ g y g x , y

Passo 6

Substituindo no ponto ( 1,2 ) , temos

f y ( 1,2 ) = f 1,2 ∙ ( h y ( 1,2 ) ∙ ln ⁡ g 1,2 + h 1,2 ∙ g y ( 1,2 ) g 1,2

Colocando os dados do problema:

f y ( 1,2 ) = 1 4 ∙ ( 0 ∙ ln ⁡ 2 + ( - 2 ) ∙ 3 2

f y 1,2 = 1 4 ∙ - 3 = - 3 4

Resposta

f x 1,2 = 5 ln ⁡ 2 + 1 4

f y 1,2 = - 3 4

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