Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2015.2, questão 2a

Verifique se a função

u x , t = e - 20 t sen ⁡ 2 x

Satisfaz a equação diferencial parcial

∂ u ∂ t = 5 ∂ 2 u ∂ x 2

Passo 1

Pra saber se a função satisfaz essa equação, temos que calcular as derivadas parciais.

Começando por ∂ u ∂ t . Pela regra da cadeia

∂ u ∂ t = e - 20 t sen ⁡ 2 x ( - 20 )

∂ u ∂ t = - 20 e - 20 t sen ⁡ 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora calculando a derivada parcial em relação a x , temos, pela regra da cadeia:

∂ u ∂ x = 2 e - 20 t cos ⁡ 2 x

∂ ² u ∂ x ² = 2 - sen ⁡ 2 x . 2 e - 20 t

∂ ² u ∂ x ² = - 4 e - 20 t sen ⁡ 2 x

Passo 3

Assim, podemos ver que

∂ u ∂ t = - 20 e - 20 t sen ⁡ 2 x = 5 . - 4 e - 20 t sen ⁡ 2 x = 5 ∂ 2 u ∂ x 2

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