Se A 11 ,   3 = ( - 11 ,   - 3 )   e A 7 ,   2 = 7 ,   2 , assinale abaixo o vetor X → tal que A 2 X → = 2 ,   3

  1. 1 ,   3 .
  2. 3 ,   1 .
  3. 3 ,   2 .
  4. 2 ,   3 .

Passo 1

Belezoca galerinha o enunciado deu pra gente que A 11 ,   3 = ( - 11 ,   - 3 )   e A 7 ,   2 = 7 ,   2 e pede pra gente encontrar o vetor X → tal que:

A 2 X → = 2 ,   3

Mas calma lá meu patrão, porque podemos tirar algumas informações bem audaciosas aqui rsrs. Saca só, como queremos elevar uma matriz a um expoente real, podemos usar a decomposição espectral pra nos ajudar nessa tarefa, ela diz que podemos decompor a matriz A como:

A = P D P - 1

Onde D é a matriz diagonal que possui os autovalores na diagonal. Enquanto P é a matriz que possui os autovetores nas colunas, na mesma ordem dos autovalores respectivos usados na diagonal de D . Dessa forma a matriz A elevada a alguma potência n pode ser escrita como:

A n = P D n P - 1

E uma matriz diagonal D é MUUUITO mais fácil de elevar a algum expoente do que as matrizes normais no geral.

Então quer dizer que encontrando os autovetores e autovalores de A , poderemos escrever a decomposição da matriz A , e a partir disso elevar ela ao quadrado para conseguirmos encontrar o vetor X → .

Passo 2

Belezera galera, então para decompor nossa matriz precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A , e um autovalor λ possui um autovetor v → quando:

A v → = λ v →

Ou seja, se a gente conseguir trocar TODA a operação que a matriz A faz no vetor v → por uma constante real λ , então v → é um autovetor associado ao autovalor λ de A . E pra encontrar isso a gente pode usar nossa carta na manga:

Saca só, o enunciado foi generoso com a gente e nos forneceu algumas informações bem valiosas. Primeiro ele diz que:

A 11 ,   3 = ( - 11 ,   - 3 )

Ou melhor, podemos dizer que:

A 11 ,   3 = - 1 ( 11 ,   3 )

Então dado que o vetor v → = 1 1 ,   3 , temos:

A v → = - 1 v →

QUE É EXATAMENTE A NOSSA DEFINIÇÃO DE AUTOVALOR E AUTOVETOR!!!!

Ou seja, o vetor 1 1 ,   3 é um autovetor associado ao autovalor λ 1 = - 1 .

Iradoso, então seguindo essa mesma linha de raciocínio, o enunciado fornece que:

A 7 ,   2 = 7 ,   2

Ou melhor:

A 7 ,   2 = 1 7 ,   2

O que faz também de 7 ,   2 um autovetor associado ao autovalor λ 2 = 1 de A .

Ai a gente ficou bonito na foto, descobrimos nossos autovalores e de quebra já descobrimos também nossos autovetores.

Passo 3

Chuchu beleza então galerinha, como descobrimos os autovalores e autovetores, podemos montar nossas matrizes D e P , afim de completar nossa decomposição A = P D P - 1 . Temos que para matriz D :

D = λ 1 0 0 λ 2

Então de acordo com os autovalores que encontramos:

D = - 1 0 0 1

Show de bola, agora para P , temos:

P = ↑ ↑ v → 1 v → 2 ↓ ↓

E conforme os autovetores que encontramos:

P = 1 1 7 3 2

MARAVILHA!! Dessa forma nossa decomposição vai ficar assim:

A = P D P - 1

A = 11 7 3 2 - 1 0 0 1 11 7 3 2 - 1

Passo 4

E agora que começa a brincadeira, porque saca só, queremos A 2 X → = 2 ,   3 , logo precisamos elevar nossa matriz ao quadrado:

A 2 = P D 2 P - 1

A 2 = 11 7 3 2 - 1 0 0 1 2 11 7 3 2 - 1

Só que 1 2 = 1 e - 1 2 também é igual 1, logo:

A 2 = 11 7 3 2 1 0 0 1 11 7 3 2 - 1

Agora que a malandragem vem, por que 1 0 0 1 é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, é como se fosse multiplicar só pelo número 1 . Então a gente só retirar ele da representação que não muda o resultado, logo:

A 2 = 11 7 3 2 11 7 3 2 - 1

E como a malandragem veio e ficou, podemos fazer outra mudança aqui. Porque se liga só, agora a gente multiplicando uma matriz pela sua inversa:

P P - 1

Só que quando a gente faz isso, de multiplicar uma matriz pela sua inversa, o resultado SEMPRE, SEMPRE, SEMPRE vai ser a matriz identidade:

P P - 1 = I  

11 7 3 2 11 7 3 2 - 1 = 1 0 0 1

Então quer dizer que na verdade tuuuudo aquilo que decompomos da matriz A , quando elevada ao quadrado nos deu:

A 2 = 11 7 3 2 - 1 0 0 1 2 11 7 3 2 - 1

A 2 = 1 0 0 1

Passo 5

Agora que descobrimos os segredos mais íntimos desse exercício, podemos juntar tudo e descobrir a verdade sobre ele, saca só, temos que:

A 2 X → = 2 ,   3

Logo:

1 0 0 1 X → = 2 ,   3

E como a matriz identidade é neutra na multiplicação, temos que:

X → = 2 ,   3

Resposta certa: Alternativa (d).

Resposta

Letra (d).

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Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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