Considere a transformação linear T : R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica é

T ε = 3 1 0 0 2 1 - 3 - 3 - 1  

E cujo polinômio característico é

p λ = - λ λ - 2 2

  1. Determine se existe a matriz inversa de T ε . Em caso afirmativo determine essa matriz. Justifique claramente sua resposta.
  2. Determine se T ε é diagonalizável. Em caso afirmativo determine uma forma diagonal de T . Em caso negativo justifique claramente porque não é diagonalizável.

Passo 1

Belejóia galerinha, pra gente garantir que uma matriz T é invertível, precisamos ter certeza que

dim ⁡ N u c T = 0

Ou seja, se nossa matriz T for quadrada e a dimensão do seu núcleo for 0 , então nossa matriz é invertível. MAAASSS agora que vem a malandragem, porque nosso enunciado disse que o polinômio característico de T é:

p λ = - λ λ - 2 2

Logo as raízes/autovalores do polinômio serão:

λ 1 = 0 ,     λ 2 = 2

Só que quando temos o autovalor 0 na nossa matriz, o autovetor v 1 associado a ele sempre vai estar no núcleo de T :

v 1 ∈ N u c T

Fazendo com que a dimensão do núcleo de T seja diferente de 0 :

dim ⁡ N u c T ≠ 0

O que contraria o fato da matriz ser invertível. Portanto T não é invertível!

Passo 2

Show de bolinhas, já na letra (b), queremos saber se nossa matriz T é diagonalizável. E pra garantir que uma matriz A n × n seja diagonalizável, precisamos ter a certeza de que A possui uma base de autovetores para R n , nesse caso, precisamos verificar se T possui uma base autovetores para R 3 . Sabemos que existem apenas dois autovalores 0 e 2 , onde 2 se repete duas vezes devido ao seu termo ao quadrado λ - 2 2 , e precisamos de 3 autovetores. Como 2 se repete, ele é o único autovalor que pode ter mais de um autovetor associado, enquanto o autovalor 0 possui apenas um autovetor associado. Então bora testar isso aí e ver quantos autovetores λ = 2 possui:

T v → = λ v →

3 1 0 0 2 1 - 3 - 3 - 1 x y z = 2 x y z

Dessa forma, obtemos que:

1 1 0 0 0 1 - 3 - 3 - 3 = 0 0 0

E escalonando o sistema, descobrimos que:

1 1 0 0 0 1 0 0 0 = 0 0 0

Da segunda linha:

0 x + 0 y + z = 0

z = 0

E da primeira linha:

x + y + 0 z = 0

x = - y

Logo o autoespaço x ,   y ,   z associado ao autovalor λ = 2 é:

x ,   y ,   z = - y ,   y ,   0

x ,   y ,   z = y - 1 ,   1 ,   0

Isso quer dizer que λ = 2 possui apenas o autovetor - 1 ,   1 ,   0 , que somado ao autovetor associado a λ = 0 , completariam uma base com 2 autovetores. Mas estávamos precisando de 3 autovetores, logo nossa matriz NÃO É DIAGONALIZÁVEL.

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração

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Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.