Considere que a matriz abaixo é de uma transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 e que α é a base canônica de R 3 :

T β α = 1 - 2 0 2 m 2 0 2 1

  1. Determine o polinômio característico de T .
  2. Para que valor(es) de m   a transformação T tem apenas um autovalor λ ? Determine o autoespaço V λ ;
  3. T   é diagonalizável para algum valor de m ?

Passo 1

  1. Vamos encontrar o polinômio característico:
  2. P λ = det ⁡ ( T β α - λ I ) = 1 - λ - 2 0 2 m - λ 2 0 2 1 - λ  

    P λ = 1 - λ 2 m - λ - 4 1 - λ + 4 1 - λ

    P λ = 1 - λ 2 m - λ

    Passo 2

  3. Para m = 1 , nosso polinômio característico fica P λ = 1 - λ 3 e sua única raíz é 1, logo só terá autovalor λ = 1 .

Agora, qual o autoespaço associado a ele?

Vamos substituir na matriz e achar:

1 - 2 0 2 1 2 0 2 1 x y z = λ x y z

Como λ = 1 , vamos ter o seguinte sistema:

x - 2 y = x ⟹ y = 0 2 x + y + 2 z = y ⟹ x = - z 2 y + z = z

x , y , z = - z , 0 , z = z ( - 1,0 , 1 )

Assim, V λ = 1 = - 1,0 , 1

Passo 2

c)

Queremos, agora, saber se para algum valor de m ,   essa transformação é diagonalizável. Para ser diagonalizável, preciso que a multiplicidade geométrica dos seus autovalores seja igual à algébrica!

Temos que para m = 1 , a multiplicidade algébrica é 3 pelo polinômio característico P λ = 1 - λ 3 , e a multiplicidade geométrica é 1 já que a dimensão de V λ = 1 é 1.

Logo, nesse caso não é diagonalizável!

Agora, para m ≠ 1 , nosso polinômio seria   P λ = 1 - λ 2 ( m - λ ) . O autovalor m teria multiplicidade algébrica 1, mas, mesmo que sua multiplicidade geométrica também fosse 1, a diferença de multiplicidades do autovalor 1 faria a transformação não ser diagonalizável.

Pois nesse caso, a multiplicidade algébrica do λ = 1 vai ser 2 e a geométrica continua sendo 1.

Resposta

a)   P λ = 1 - λ 2 m - λ

b)   m = 1 , V λ = 1 = - 1,0 , 1

c) Não

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.