Considere a transformação linear T : R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica é:

T ε = 1 1 1 2 2 2 3 3 3

  1. Determine os autovalores de T .
  2. Determine se T é diagonalizável. Em caso afirmativo, determine uma forma diagonal de T . Em caso negativo, explique porque T não é diagonalizável.

Passo 1

Show de bolinhas galera, na letra (a) queremos encontrar os autovalores da matriz:

T ε = 1 1 1 2 2 2 3 3 3

E pra isso a gente deveria escrever o polinômio característicos e todas aquelas coisas complicadas, MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de números decimais, podemos usar 2 bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.

O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor

Saca só, na nossa matriz 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , se a gente somar os elementos de cada coluna, vamos ter que:

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 = 6

E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a 6 , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor 1 .

**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).

Passo 2

Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir os outros. E aqui a gente pode perceber que as linhas da matriz são linearmente dependentes, e isso faz com que nossa matriz tenho a dimensão do núcleo diferente de 0 . E a sagacidade disso é que os vetores do núcleo de qualquer matriz, sempre vai ser um autovetor associado ao autovalor λ = 0 , isso quer dizer que sempre que a gente tiver uma matriz em que o núcleo tenha dimensão diferente de 0 , podemos garantir que ela tem o autovalor 0 . Iradosoooo!!! Agora a gente descobriu DOIS autovalores, falta saber se existe um terceiro, ou se algum desses dois se repetem.

E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra, que é que:

A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores

Saca só, como a matriz é 3 × 3 , vamos possuir três autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de λ 1 λ 2   e λ 3 . Logo a soma dos autovalores é:

λ 1 + λ 2 + λ 3

Já para nossa matriz 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , a soma da diagonal principal é:

1 + 2 + 3 = 6

Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:

λ 1 + λ 2 + λ 3 = 6

E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale   λ 1 = 6 e o outro vale λ 2 = 0 , logo:

λ 1 + λ 2 + λ 3 = 6

0 + 6 + λ 3 = 6

λ 3 = 0

Isso quer dizer que o autovalor 0 se repete duas vezes. Portanto nossos autovalores são:

λ 1 = 6 ,     λ 2 = 0 ,     λ 3 = 0

Passo 3

Belezoca pessoal, descobrimos que temos 3 autovalores reais. E como estamos em R 3 , ou seja, um espaço de dimensão 3 , isso nos garante que nossa transformação é diagonalizável. E para escrever na forma diagonal, devemos decompor a matriz na forma:

T = P D P - 1

Onde D é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos autovalores de T :

D = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 = 6 0 0 0 0 0 0 0 0

Enquanto P , é a matriz onde as colunas são os respectivos autovetores de T :

P = ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓

Então precisamos encontrar esses autovetores!!!

Saca só, para o primeiro autovalor, temos λ 1 = 6 , logo:

1 - λ 1 1 1 2 2 - λ 1 2 3 3 3 - λ 1 = 1 - 6 1 1 2 2 - 6 2 3 3 3 - 6 = - 5 1 1 2 - 4 2 3 3 - 3

Então escalonando o sistema, temos:

- 5 1 1 2 - 4 2 3 3 - 3 ⇒   L 2 = 3 L 2 - 2 L 3   = - 5 1 1 0 - 6 0 3 3 - 3

- 5 1 1 0 - 6 0 3 3 - 3 ⇒       L 3 = 5 L 3 + 3 L 1 = - 5 1 1 0 - 6 0 0 18 0

- 5 1 1 0 - 6 0 0 18 0 ⇒       L 3 = L 3 + 3 L 2 = - 5 1 1 0 - 6 0 0 0 0

Logo, da segunda linha, temos que:

0 x - 6 y + 0 z = 0

y = 0

E na primeira linha, temos:

- 5 x + y + z = 0

- 5 x + 0 + z = 0

z = 5 x

Portanto, o autovetor v 1 = x ,   y ,   z é dado por:

x ,   y ,   z = x ,   0 ,   5 x = x 1 ,   0 ,   5

v 1 = 1 ,   0 ,   5

Passo 4

Irado, agora para o outro autovalor λ 2 = λ 3 = 0 , temos:

1 - λ 1 1 1 2 2 - λ 1 2 3 3 3 - λ 1 = 1 - 0 1 1 2 2 - 0 2 3 3 3 - 0 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3

Então se a gente escalonar essa matriz, vamos obter:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1   = 1 1 1 0 0 0 3 3 3

1 1 1 0 0 0 3 3 3 ⇒       L 3 = L 3 - 3 L 1 = 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Logo, da primeira linha, tiramos que:

x + y + z = 0

x = - y - z

Logo a solução é dada por:

x ,   y ,   z = - y - z ,   y ,   z

- y - z ,   y ,   z = y - 1 ,   1 ,   0 + z - 1 ,   0 ,   1

Portanto os autovetores associados são:

v 2 = - 1 ,   1 ,   0

v 3 = - 1 ,   0 ,   1

Belejóia, então nossa matriz P é:

P = ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ = 1 - 1 1 0 1 0 5 0 1

Passo 5

Então agora só resta a gente encontrar P - 1 , e pra isso a gente pode aplicar o algoritmo do escalonamento com a matriz identidade lado a lado, desse jeito:

1 - 1 1 0 1 0 5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Agora a gente faz operações na matriz da esquerda até ela se transformar na identidade, saca só:

1 - 1 1 0 1 0 5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒     L 3 = L 3 - 5 L 1 = 1 - 1 1 0 1 0 0 5 - 4 1 0 0 0 1 0 - 5 0 1

1 - 1 1 0 1 0 0 5 - 4 1 0 0 0 1 0 - 5 0 1 ⇒     L 3 = L 3 - 5 L 2 = 1 - 1 1 0 1 0 0 0 - 4 1 0 0 0 1 0 - 5 - 5 1

1 - 1 1 0 1 0 0 0 - 4 1 0 0 0 1 0 - 5 - 5 1 ⇒     L 3 = - 1 4 L 3 = 1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 5 / 4 5 / 4 - 1 / 4

1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 5 / 4 5 / 4 - 1 / 4 ⇒ L 1 = L 1 + L 2     = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 5 / 4 5 / 4 - 1 / 4

1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 5 / 4 5 / 4 - 1 / 4 ⇒ L 1 = L 1 - L 3     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 / 4 - 1 / 4 1 / 4 0 1 0 5 / 4 5 / 4 - 1 / 4

Portanto a matriz inversa P - 1 é dada por:

P - 1 = - 1 4 - 1 4 1 4 0 1 0 5 4 5 4 - 1 4

E dessa forma, nossa decomposição, fica assim:

T = P D P - 1

T = 1 - 1 1 0 1 0 5 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 4 - 1 4 1 4 0 1 0 5 4 5 4 - 1 4

Resposta

  1. λ 1 = 6 ,     λ 2 = 0 ,     λ 3 = 0
  2. T = 1 - 1 1 0 1 0 5 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 4 - 1 4 1 4 0 1 0 5 4 5 4 - 1 4

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.