As matrizes dos enunciados abaixo têm todos os autovalores reais.

  1. Seja A ∈ M 7 × 7 uma matriz não diagonalizável. Suponha que dois dos autovalores de A tenham autoespaços de dimensão 3 e 2 respectivamente. Então A tem exatamente 2 autovalores distintos.
  2. Se A ∈ M 5 × 5 possui exatamente 4 autovalores distintos, então A não é diagonalizável.

a   Ambas são verdadeiras.

b   A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

c   Ambas são falsas.

d   A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

Passo 1

Ta, primeira coisa aqui, todo autovalor possui um autoespaço de dimensão no mínimo 1 associado à ele. Além disso esse autoespaço é L I se o autovalor for diferente dos outros.

Segunda coisa, se uma matriz é diagonalizável, então a soma das dimensões dos autoespaços dessa matriz tem que ser igual a dimensão do seu domínio. Em outras palavras, a soma da multiplicidade geométrica de seus autovalores tem que ser a dimensão de seu domínio.

Beleza, vamos as opções.

Passo 2

Afirmativa I :

Ele afirma que A não é diagonalizável, logo a soma das multiplicidades geométricas de seus autovalores deve ser menor que 7 :

∑ m . g . < 7

Ele também diz que dois dos autovalores de A possuem autoespaços de dimensão 3 e 2 :

λ 1 → m . g . = 3

λ 2 → m . g . = 2

Ele então afirma que A tem exatamente dois autovalores distintos. Bom, já sabemos que A tem dois autovalores distintos. A questão é, será que podia ter mais? Assumindo que exista um λ 3 , teríamos:

λ 3 → m . g . ≥ 1

Se somarmos as m . g . que já temos ficamos com 3 + 2 = 5 . Logo, se a multiplicidade geométrica de λ 3 fosse igual a 1 teríamos:

∑ m . g . = 3 + 2 + 1 = 6 < 7

Ou seja, pode sim existir um terceiro autovalor, contanto que ele tenha um autoespaço de dimensão 1 . Essa é falsa.

Passo 3

Afirmativa I I :

Aqui temos uma matriz A 5 × 5 com 4 autovalores distintos. Logo,

λ 1 → m . g . ≥ 1

λ 2 → m . g . ≥ 1

λ 3 → m . g . ≥ 1

λ 4 → m . g . ≥ 1

Repare que ele não fala nada à respeito da multiplicidade geométrica desses autovalores, então só podemos dizer que ela é pelo menos igual a 1 . Em seguida, ele afirma que A não é diagonalizável. Isso é completamente falso!

Como vimos, os autovalores possuem m . g . de no mínimo 1 , então se um deles tivesse m . g . = 2 , teríamos:

∑ m . g . = 1 + 1 + 1 + 2 = 5

Logo, A pode ser diagonalizável sim, basta que um dos 4 autovalores esteja associado à um plano! Essa é falsa.

Obs.: Só uma observação. Isso não interfere muito na questão mas repare que caso um dos autovalores tenha m . g . = 2 ou outros necessariamente terão m . g . = 1 ! Isso porque a soma das multiplicidades geométricas nunca vai ultrapassar a dimensão do domínio da nossa matriz ;)

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.