Considere as seguintes afirmações:

(I) se V     for um espaço vetorial complexo de dimensão finita, T : V → V   for um operador linear e λ   ∈   C   for um autovalor de T   , então o conjugado de λ   também será um autovalor de T   ;

(II) se uma matriz real A ∈ M n R for diagonalizável sobre C   , então ela também será diagonalizável sobre R  

(III) se uma matriz real A   ∈   M n R for diagonalizável sobre R   , então ela também será diagonalizável sobre C .  

Quais afirmações são verdadeiras?

  1. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
  2. Apenas a afirmação (III) é verdadeira;
  3. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
  4. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
  5. Apenas a afirmação (I) é verdadeira;

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana pois trabalha com as condições necessárias para diagonalizar uma matriz.

Nosso objetivo é verificar quais das afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Como de costume vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz o seguinte:

Se V       for um espaço vetorial complexo de dimensão finita, T : V → V     for um operador linear e λ   ∈   C    

for um autovalor de T   , então o conjugado de λ também será um autovalor de T   . E aí será que é verdade? O que vocês acham?

Bem vamos relembrar de onde vem os autovalores de um operador linear. Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Esse polinômio é:

p t   =   d e t d e t   A   -   t I  

Mas espera a e, os autovalores são as RAÍZES do polinômio característico. Logo se λ for raiz, então λ _ também será.

Com isso, temos que a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Vamos verificar a segunda afirmação. Ela diz que: se uma matriz real A ∈ M n R for diagonalizável sobre C, então ela também será diagonalizável sobre R.

Será que é verdade? Vamos pensar!

Se a matriz é diagonalizável nos complexos, então seus autovalores também estão nos complexos, certo? Logo, se qualquer um desses autovalores não for um número real, então a matriz não poderá ser digitalizada nos Reais. Ou seja, nem toda matriz diagonalizável sobre os complexos é diagonalizável sobre os Reais.

Então a segunda afirmação é falsa.

Passo 4

Passo 5

Por fim, vamos verificar a terceira afirmação. A afirmação diz o seguinte:

Se uma matriz real A ∈ M n R for diagonalizável sobre R, então ela também será diagonalizável sobre C.

Bem, o que podemos falar sobre os autovalores de A   ? Como estamos supondo que A   é diagonalizável nos Reais, então seus autovalores também são Reais, beleza? Mas será que isso é suficiente para A   ser diagonalizável nos complexos? O que vocês acham?

O que podemos falar dos autovetores de A   ? Como A   é diagonalizável, então seus autovetores formam uma base para o espaço, show? Mas qual espaço? Nesse caso, para os Reais. Então A  

não será diagonalizável nos complexos, pois seus autovetores NÃO formam uma base para os complexos.

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

l e t r a   ( e )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.