Seja A uma reflexão do R 3 através do eixo X seguida da expansão de um fator 11 na direção do eixo Y . Os autovalores de A são:

( a ) 0 ,   1 e - 11

( b ) 1 ,   - 1   e 11

( c ) 1 ,   - 1 e - 11

( d ) 0 ,   1   e 11

Passo 1

Vamos escrever essas matrizes na forma diagonalizada pra facilitar:

Reflexão do R 3 através do eixo X :

Temos como autovetores os eixos coordenados. Os eixos Y e Z relacionados ao autovalor - 1 e o eixo X associado ao autovalor 1 .

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1

Expansão de um fator 11 na direção do eixo Y :

Novamente temos os eixos coordenados como autovetores. Dessa vez os eixos X e Z estão associados ao autovalor 1 e o eixo Y está associado ao autovalor 11 .

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 11 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1

Agora é só multiplicarmos elas! Lembrando que a que acontece primeiro (reflexão) tem que ficar mais à direita:

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 11 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⏟ I 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 11 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 - 11 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1

Opa, olha que beleza, já encontramos A diagonalizada! Então os autovalores são aqueles 3 na diagonal da matriz do meio. São 1 ,   - 11 e - 1 .

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.