Considere a matriz

(a) Determine os autovalores de M.

(b) Determine uma base de autovetores de M.

(c) Diagonalize ortogonalmente M, ou seja, encontre matrizes P ortogonal e D diagonal tais que M = P D P T

Passo 1

(a) Pra achar os autovalores da matriz, fazemos:

det ⁡ M - λ I = 0

Então:

1 - λ 3 + 2 - 3 1 - λ = 0

1 - 3 λ + 3 λ 2 - λ 3 + 1 + 2 - 3 + 3 λ = 0

3 λ 2 - λ 3 = 0

λ 2 3 - λ = 0

Ou seja, temos os autovalores:

λ 1 = λ 2 = 0

λ 3 = 3

Passo 2

(b) Para achar os autovetores de M, resolvemos o sistema linear:

M - λ I v = 0

para cada autovalor λ que encontramos no item (a).

Vamos começar com λ 1 = λ 2 = 0 .

Nesse caso, o sistema fica:

Sendo v = ( x , y , z ) , temos uma única equação:

x + y + z = 0

Então:

x = - y - z

E os vetores vão ser:

x , y , z = - y - z , y , z = y - 1,10 + z - 1,0 , 1

Fazendo y = 1 e z = 0 , achamos o autovetor - 1,1 , 0 , e fazendo y = 0   e z = 1 , achamos o autovetor - 1,0 , 1 .

Mas qualquer outra combinação linear entre esses dois caras também é autovetor, beleza?

Agora vamos resolver o sistema para λ 3 = 3 :

Escalonando:

L 1 ← - 1 2 L 1

L 2 ← L 2 - L 1

L 3 ← L 3 - L 1

L 3 ← L 3 + L 2

Sendo v = x , y , z , ficamos com um sistema com duas equações:

2 x - y - z = 0 - y + z = 0

Da segunda equação, tiramos que:

y = z

Substituindo na primeira:

2 x - z - z = 0 ⇒ 2 x - 2 z = 0

∴ x = z

Então os vetores v nesse caso vão ser:

x , y , z = z , z , z = z 1,1 , 1

Fixando z = 1 , achamos um terceiro autovetor possível, que é 1,1 , 1 .

E de novo, qualquer múltiplo desse cara também é autovetor.

Então uma base de autovetores é dada por:

β = { 1,1 , 1 , - 1,1 , 0 , - 1,0 , 1 }

Passo 3

(c) Agora precisamos diagonalizar M ortogonalmente, ou seja, escrever M na forma:

M = P D P T

onde P é uma matriz com autovetores ortonormais nas colunas e D é uma matriz diagonal com autovalores na diagonal principal.

Na letra (b), achamos uma base de autovetores:

β = 1,1 , 1 , - 1,1 , 0 , - 1,0 , 1

Mas essa base não é uma base ortonormal (os autovetores não tem norma 1 e não são ortogonais dois a dois).

Bom, o autovetor ( 1,1 , 1 ) é ortogonal aos autovetores - 1,1 , 0 e ( - 1,0 , 1 ) , mas esses dois últimos não são ortogonais entre si.

Vamos então manter os autovetores ( 1,1 , 1 ) e ( - 1,1 , 0 ) na base e buscar um terceiro autovetor que seja ortogonal a esses dois.

Lembrem que para λ = 0 , tínhamos encontrado que os autovetores eram:

v = y - 1,10 + z - 1,0 , 1

Se fizermos y = 1 e z = - 2 nessa combinação linear, obtemos:

v = 1,1 , - 2

E esse autovetor é ortogonal aos outros dois.

Então uma base ortogonal de autovetores é:

α = { 1,1 , 1 , - 1,1 , 0 , 1,1 , - 2 }

Pra fazer essa base ser ortonormal, basta dividir cada vetor pela sua norma:

α = 1 3 1,1 , 1 , 1 2 - 1,1 , 0 , 1 6 1,1 , - 2

Então temos as matrizes:

Resposta

(a) λ 1 = λ 2 = 0   e   λ 3 = 3

(b) β = { 1,1 , 1 , - 1,1 , 0 , - 1,0 , 1 }

(c)

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