Considere a função D : P 3 ⟶ P 3 definida por:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b + 2 c x + 3 d x 2

(Observe que D é a transformação que deriva o polinômio)

( d ) D é diagonalizável? Justifique:

Passo 1

Letra ( d )

Bom, para justificar isso precisamos construir uma matriz em alguma base que represente D . Vamos usar a base canônica de P 3 :

β = { 1 , x , x 2 , x 3 }

Sua matriz na base β ficará:

D β = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0

Como a matriz não é simétrica, não podemos afirmar nada, então vamos ter que calcular seus autovalores.

Passo 2

Calculando autovalores:

D β - λ I = - λ 1 0 0 0 - λ 2 0 0 0 - λ 3 0 0 0 - λ

E assim, det ⁡ D β - λ I = λ 4 = 0 ⇒ λ = 0 .

Ahh então só temos um autovalor, podemos parar por aí? NÃOOO, pois podemos ter 4 autovetores associado a esse autovalor e ai eles podem “calhar” de serem L I , e ai teremos uma base de autovetores e por sua vez, nossa D será diagonalizável.

Passo 3

Mas sabemos que os autovetores associados a λ = 0 são exatamente o núcleo da D . Verificando o núcleo:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b + 2 c x + 3 d x 2 = 0 ⇒

b = c = d = 0

E assim, substituindo num elemento genérico do domínio:

a + b x + c x 2 + d x 3 = a

N u c D = s p a n { 1 }

Então, vimos que só temos um autovetor associado ao autovalor λ = 0 , portanto só temos uma autovetor e não conseguimos criar uma base de autovetores para o domínio de D , então D não é diagonalizável.

Resposta

Não é diagonalizável.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.