Seja T : R 3 → R 3 um operador linear e seja A ∈ M 3 ( R ) a matriz de T em relação à base canônica de R 3 . Se

K e r T = 1 , - 2,0 ,     K e r T - 2 I = 0,0 , 1 ,                   K e r T - 5 I = [ ( 2,1 , 0 ) ]

Em que I denota o operador identidade de R 3 , então a soma de todos os elementos de A é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 16
  2. 9
  3. 11
  4. 13
  5. 10

Passo 1

Faaala, pessoal! Estamos aqui trabalhando com o conceito de autovetores e autovalores e devemos recordar que se há uma base de autovetores de R 3 , teremos T diagonalizável e:

A = P D P - 1

Onde as colunas de P são os autovetores e D é uma matriz diagonal com os autovalores por elementos.

Observe que se v ∈ K e r ( T - λ I ) , temos:

T - λ I v = 0 ⇒ T v - λ I v = 0 ⇒ A v - λ v = 0 ⇒ A v = λ v

O que implica em λ e v serem autovalor e autovetor, respectivamente.

Passo 2

Dessa forma, { 0,2 , 5 } são autovalores e { 1 , - 2,0 , 0,0 , 1 , ( 2,1 , 0 ) } são autovetores. Estes autovetores, segundo teorema, são L.I., uma vez que advêm de autovalores distintos. Assim, podemos construir P e D :

P = 1 0 2 - 2 0 1 0 1 0           D = 0 0 0 0 2 0 0 0 5

Para determinar A , basta agora inverter P . Assim, escalonemos:

  P     I   ] = 1 0 2 - 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 ' → L 2 + 2 L 1 ⇒   1 0 2 0 0 5 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 1 L 2 ' → L 3 ⇒   L 3 ' → L 2 / 5

⇒ 1 0 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 / 5 1 / 5 0 L 1 ' → L 1 - 2 L 3 ⇒   1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 / 5 - 2 / 5 0 0 0 1 2 / 5 1 / 5 0 =   I     P - 1 ]

Assim,

P - 1 = 1 / 5 - 2 / 5 0 0 0 1 2 / 5 1 / 5 0

Passo 3

Agora, basta multiplicar as matrizes usando:

A = P D P - 1 =

= 1 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 5 1 / 5 - 2 / 5 0 0 0 1 2 / 5 1 / 5 0

= 0 0 10 0 0 5 0 2 0 1 / 5 - 2 / 5 0 0 0 1 2 / 5 1 / 5 0

= 4 2 0 2 1 0 0 0 1

Cuja soma de todos os elementos é 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10 .

Resposta

  1. 10

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.