Considere a matriz A = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . Determine se A é diagonalizável, e caso seja ache a diagonalização de A .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Questões de diagonalização de matrizes costumam ser bastante trabalhosas, mas nada que seja de outro mundo que não podemos ficar craques.

A definição de uma matriz diagonalizável é dada como: Uma matriz A é diagonalizável se existir uma matriz inversa P e uma matriz diagonal D , tal que A = P D P - 1 .

A matriz D podemos encontrar a partir dos autovalores de A , onde

D = - λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 2

Para encontrar os autovalores, vamos usar a formulinha d e t A - λ I = 0 , escrevendo em matrizes temos

1 2 3 1 2 3 1 2 3 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ 2 3 1 2 - λ 3 1 2 3 - λ

Calculando d e t A - λ I = 0

1 - λ 2 3 1 2 - λ 3 1 2 3 - λ = 0

Resolvendo o determinante da matriz e igualando a 0 temos:

1 - λ 2 - λ 3 - λ + 6 + 6 - 3 · 2 - λ - 2 · 3 - λ - 1 - λ · 6 = 0

1 - λ 2 - λ 3 - λ + 12 - 6 + 3 λ - 6 + 2 λ - 6 + 6 λ = 0

1 - λ 2 - λ 3 - λ - 6 + 11 λ = 0

2 - 3 λ + λ 2 3 - λ - 6 + 11 λ = 0

6 - 11 λ + 6 λ 2 - λ 3 - 6 + 11 λ = 0

- λ 3 + 6 λ 2 = 0

- λ 2 λ - 6 = 0

Ou seja, encontramos os autovalores como

λ 1 = 0 λ 2 = 6

Nossa matriz D será

D = - λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 2 → D = 0 0 0 0 0 0 0 0 6

Passo 2

Já a matriz P pode ser encontrada calculando os autovetores de A , onde

P = v 1 v 2 v 3

Cada autovetor corresponde a uma coluna da matriz P .

Para encontrar os autovetores de A vamos usar a formulinha A - λ I v = 0

1 - λ 2 3 1 2 - λ 3 1 2 3 - λ v x v y v z = 0 0 0

Vamos calcular v substituindo os valores de λ que encontramos anteriormente.

Bora lá!

Para λ 1 = 0

1 2 3 1 2 3 1 2 3 v x v y v z = 0 0 0

*   1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0

Escalonando a matriz * , temos

1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

v x + 2 v y + 3 v z = 0

Escrevendo essa equação em um sistema de equações

v x = - 2 v y - 3 v z v y = v y v z = v z

Por fim, já que no lado direito da igualdade temos apenas v y e v z , vamos calcular esse sistema quando v y = 1 , v z = 0 e depois quando v y = 0 , v z = 1 e assim vamos obter v 1 e v 2 .

v 1 1,0 = v x = - 2 · 1 - 3 · 0 v y = 1 v z = 0

v 1 1,0 = v x = - 2 v y = 1 v z = 0

Agora pra v 2

v 2 0,1 = v x = - 2 · 0 - 3 · 1 v y = 1 v z = 0

v 2 0,1 = v x = - 3 v y = 0 v z = 1

Ou seja, encontramos dois autovetores de A .

v 1 = - 2 1 0 e v 2 = - 3 0 1

Passo 3

Para v 3 vamos substituir λ 2 = 6

1 - 6 2 3 1 2 - 6 3 1 2 3 - 6 v x v y v z = 0 0 0

* * - 5 2 3 1 - 4 3 1 2 - 3 0 0 0

Escalonando a matriz * * chegamos no resultado

1 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0

Escrevendo o resultado em um sistema de equações, temos

v x - v z = 0 v y - v z = 0 v z = v z → v x = v z v y = v z v z = v z

Neste caso, temos apenas uma solução, já que no lado direito da igualdade só existe uma variável, ou seja, se v z = 1 , v 3 será

v 3 = 1 1 1

Com isso, conseguimos nossa matriz P como descrevemos anteriormente.

P = - 2 - 3 1 1 0 1 0 1 1

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, vamos calcular P - 1 , pra isso podemos usar a formulinha P · P - 1 = I ou

* * * - 2 - 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Escalonando * * * de tal forma que o lado esquerdo se transforme em uma matriz identidade, o lado direito será o resultado de P - 1

- 2 - 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 1 → - L 1 2

1 3 2 - 1 2 1 0 1 0 1 1 - 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 → L 2 - L 1

1 3 2 - 1 2 0 - 3 2 3 2 0 1 1 - 1 2 0 0 1 2 1 0 0 0 1 L 1 → L 1 + L 2 L 2 → - 2 L 2 3

1 0 1 0 1 - 1 0 1 1 0 1 0 - 1 3 - 2 3 0 0 0 1 L 3 → L 3 - L 2

1 0 1 0 1 - 1 0 0 2 0 1 0 - 1 3 - 2 3 0 1 3 2 3 1 L 1 → L 1 - L 3 2 L 2 → L 2 + L 3 2 L 3 → L 3 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 6 2 3 - 1 2 - 1 6 - 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2

E finalmente encontramos P - 1 , como dito anteriormente, o lado direito é o que procuramos, ou seja

P - 1 = - 1 6 2 3 - 1 2 - 1 6 - 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2

Passo 5

Voltando lá no início, onde dizemos que A = P D P - 1 , finalmente podemos escrever essa equação como

1 2 3 1 2 3 1 2 3 = - 2 - 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 - 1 6 2 3 - 1 2 - 1 6 - 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2

Portanto, essa é a diagonalização de A ! É lindo, não é?

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

1 2 3 1 2 3 1 2 3 = - 2 - 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 - 1 6 2 3 - 1 2 - 1 6 - 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.