Seja T : R 3 → R 3 um operador linear tal que:

M - 1 T c a n M = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

Em que

M = 1 0 1 0 1 1 1 1 0

E can denota a base canônica de R 3 . Temos que T ( 5,3 , 4 ) é igual a:

  1. 9,8 , 5 ;
  2. 7,7 , 6 ;
  3. 8,5 , 9 ;
  4. 5,11,13 ;
  5. 10,6 , 8 .

Passo 1

Faaaala, galerinha do mal! Os elementos descritos acima referem-se à diagonalização de matrizes. Para a qual:

T = M D M - 1

Onde M possui suas colunas formadas por uma base de autovetores de T e a matriz diagonal D possui os autovetores de T por elementos da diagonal principal.

Daí, extraímos as relações

Agora, basta escrever o vetor desejado nessa base de autovetores.

Passo 2

Veja que:

5,3 , 4 = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1 + c ( 1,1 , 0 )

⇒ a + c = 5 b + c = 3 a + b = 4

Partindo para a notação matricial do sistema:

1 0 1 0 1 1 1 1 0 5 3 4 L 3 ' → L 3 - L 1 ⇒   1 0 1 0 1 1 0 1 - 1 5 3 - 1 L 3 ' → L 3 - L 2 ⇒  

⇒ 1 0 1 0 1 1 0 0 - 2 5 3 - 4 L 3 ' → L 3 / ( - 2 ) ⇒   1 0 1 0 1 1 0 0 1 5 3 2 L 2 ' → L 2 - L 3 ⇒   L 1 ' → L 1 - L 3

⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 2 ⇒ a , b , c = ( 3,1 , 2 )

Passo 3

Dessa forma, a linearidade garante:

T 5,3 , 4 = T [ 3 1,0 , 1 + 1 0,1 , 1 + 2 ( 1,1 , 0 ) ]

= 3 T 1,0 , 1 + 1 T 0,1 , 1 + 2 T ( 1,1 , 0 )

= 3 ⋅ 1 1,0 , 1 + 1 ⋅ 2 0,1 , 1 + 2 ⋅ 3 ( 1,1 , 0 ) ]

= ( 9,8 , 5 )

Resposta

  1. 9,8 , 5 ;

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.