Considere as afirmativas:

  1. Se B é invertível, então B T é invertível.
  2. Se A é diagonalizável, então A T é diagonalizável.
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  4. (I) é falsa e (II) é falsa.

Passo 1

Belezera galerinha, na afirmativa (I) ele diz que se B é invertível, então B T é invertível. Então saca só, pra gente ter certeza que uma matriz é invertível, precisamos garantir que ela seja quadrada e tenha dimensão do núcleo igual a 0 :

dim ⁡ N u c B = 0

Só que a dimensão do núcleo da matriz é exatamente igual a dimensão do núcleo da matriz transposta, tal que:

dim ⁡ N u c B = dim ⁡ N u c B T

Portanto, se isso acontece, temos que:

dim ⁡ N u c B T = 0

E se a dimensão do núcleo de B T é igual a 0 , quer dizer que B T satisfaz as condições de inversibilidade. Afirmativa (I), verdadeira.

Passo 2

Já na afirmativa (II), ele diz que se A é diagonalizável, então A T é diagonalizável. E pra garantir que uma matriz A n × n   pode ser diagonalizada, precisamos ter certeza que ela possui uma base de autovetores para R n . Mas pra calcular a dimensão do autoespaço de uma matriz A , fazemos:

dim ⁡ N u c A - λ I

Ou seja, a dimensão do núcleo de A - λ I , vai nos dizer a dimensão do autoespaço associado a λ . E como A é diagonalizável, temos que:

dim ⁡ N u c A - λ 1 I + dim ⁡ N u c A - λ 2 I + … + dim ⁡ N u c A - λ n I = n

Só que queremos descobrir se isso acontece para A T . MASSS, a malandragem aqui é que podemos fazer A - λ I T = A T - λ I , tal que:

dim ⁡ N u c A T - λ I = dim ⁡ N u c A - λ I T

E como vimos no Passo 1, a dimensão do núcleo de uma matriz é igual a dimensão do núcleo da transposta, tal que:

dim ⁡ N u c A - λ I T = dim ⁡ N u c A - λ I

dim ⁡ N u c A T - λ I = dim ⁡ N u c A - λ I

Logo:

dim ⁡ N u c A T - λ 1 I + dim ⁡ N u c A T - λ 2 I + … + dim ⁡ N u c A T - λ n I = n

Garantido a existência de uma base de autovetores de A T para R n . Então sim, se a matriz A é diagonalizável, então A T também é. Resposta certa, letra (b)

Resposta

Letra (b)

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.