Enunciado

Seja T :   R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = x - 3 z , y - 6 z , - 2 z

(a) Obtenha o polinômio característico e calcule os autovalores de T.

(b) Obtenha para cada um dos autovalores de T uma base para seu respectivo autoespaço (subespaço associado).

(c) T é diagonalizável? Justifique. Em caso afirmativo, determine uma base na qual a matriz de T é uma matriz diagonal e exiba tal matriz.

Passo 1

(a) Vamos começar achando a matriz que representa a transformação linear T na base canônica.

Para isso, basta fazer uma “decomposição” da transformação linear dada, colocando na primeira coluna os coeficientes do x em cada coordenada, na segunda coluna os coeficientes do y em cada coordenada e por último na terceira coluna os coeficientes do z em cada coordenada.

Ficamos com a matriz:

Agora pra achar os autovalores da transformação T, achamos os autovalores dessa matriz aí.

Fazendo isso:

det ⁡ T - λ I = 0

1 - λ 1 - λ - 2 - λ = 0

1 - λ 2 - 2 - λ = 0

Esse é o polinômio característico de T.

Os autovalores são:

λ 1 = λ 2 = 1

λ 3 = - 2

Passo 2

(b) Vamos usar a definição de autovalor e autovetor para achar os autovetores.

Para λ 1 = λ 2 = 1 , temos:

T x , y , z = λ x , y , z

x - 3 z , y - 6 z , - 2 z = x , y , z

x - 3 z = x y - 6 z = y - 2 z = z

Pela terceira equação:

z = 0

Então os autovetores associados a esse autovalor são do tipo:

x , y , z = x , y , 0 = x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0

Esses dois vetores são LI e todo autovetor é uma combinação linear deles.

Logo, uma base para o autoespaço associado a λ = 1 é:

{ 1,0 , 0 , 0,1 , 0 }

Fazendo a mesma coisa para λ 3 = - 2 :

T x , y , z = - 2 x , y , z

x - 3 z , y - 6 z , - 2 z = ( - 2 x , - 2 y , - 2 z )

x - 3 z = - 2 x y - 6 z = - 2 y - 2 z = - 2 z

Da primeira equação:

x - 3 z = - 2 x ⇒ x = z

Da segunda equação:

y - 6 z = - 2 y ⇒ y = 2 z

Logo, os autovetores associados a esse autovalor são do tipo:

x , y , z = z , 2 z , z = z 1,2 , 1

Portanto uma base para o autoespaço associado a λ 3 = - 2 é:

{ 1,2 , 1 }

Passo 3

(c) Note que:

β = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 1,2 , 1

É uma base de R 3 formada por autovetores de T.

Como existe essa base, T é diagonalizável.

Sua representação diagonal é uma matriz diagonal que possui os autovalores na diagonal principal, respeitando a ordem dos autovetores da base β :

Resposta

(a) Polinômio característico: 1 - λ 2 - 2 - λ = 0

Autovalores: λ 1 = λ 2 = 1 e λ 3 = - 2

(b) λ 1 = λ 2 = 1 :   { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 }

λ 3 = - 2 :   { 1,2 , 1 }

(c)

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