Sejam T : R 3 → R 3 o operador linear cuja matriz relativamente à base canônica de R 3 é a b c 0 a d 0 0 e , em que a , b , c , d , e são números reais que satisfazem a ≠ e . Então,

Escolha uma opção:

  1. T é diagonalizável se e = 0 ;
  2. T é diagonalizável se c = 0 ;
  3. T é diagonalizável se b = 0 ;
  4. T não é diagonalizável;
  5. T é diagonalizável se d = 0 ;

Passo 1

Faaala, molecada boa! Bem, a princípio, uma matriz diagonalizável é a quadrada que podemos escrever como:

A = P D P - 1

Onde as colunas de P são os autovetores e D é matriz diagonal com os elementos dados pelos autovalores de A . Se A é de ordem n basta que exista uma base de autovetores para R n para garantir que é diagonalizável.

E O QUE QUE EU FAÇO? Bem, vamos tentar achar os autovalores λ primeiro, dados por:

det ⁡ λ I - A = 0

λ - a - b - c 0 λ - a - d 0 0 λ - e = 0

λ - a 2 λ - e = 0

⇒ λ = a   o u   λ = e

Como a ≠ e , temos (teorema) que os autovetores de a são L.I. com o de e . Avaliemos os de a .

Passo 2

Um autovetor v ≠ 0 relativo a a , é tal que: A v = a v ⇒ A - a I v = 0 o que resulta no sistema:

0 b c 0 0 d 0 0 e - a 0 0 0

Assim, para v = x , y , z , temos:

b y + c z = 0 d z = 0 e - a z = 0

Como e - a ≠ 0 , temos: z = b y = 0 . De forma que se b = 0 , temos x e y livres e podemos tomar: 1,0 , 0 e ( 0,1 , 0 ) autovetores L . I . entre si e L.I. com o autovetor de e . Dessa forma, a matriz é diagonalizável se b = 0 .

Resposta

c .     T é diagonalizável se b = 0 ;

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.