Seja A uma matriz não invertível que satisfaz A 1 ,   2 = 2 ,   4 , então:

  1. A é diagonalizável.
  2. A é ortogonal.
  3. A é diagonal.
  4. A é simétrica.

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, esse exercício aqui é pura maldade, saca só. Ele diz que:

A 1 ,   2 = 2 ,   4

E aí já começa a malicia, porque o vetor resultante 2 ,   4 é o dobro do vetor inicial 1 ,   2 , tal que:

A 1 ,   2 = 2 1 ,   2

Isso quer dizer que o vetor 1 ,   2 é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 .

Passo 2

Iradoso, então já descobrimos que nossa matriz A possui pelo menos um autovalor. E é ai que vem o golpe fatal, porque o enunciado disse que nossa matriz é NÃO INVERTÍVEL, e toda matriz que não é invertível SEMPRE vai possuir o autovalor 0 . Dessa forma, podemos garantir que nossa matriz A possui o autovalor:

λ 1 = 2 ,     λ = 0

Ou seja, nossa matriz A 2 × 2 possui 2 autovalores distintos, e para diagonalizar uma matriz usamos a decomposição espectral:

A = P D P - 1

Onde P é matriz com os autovetores nas colunas, e D é a matriz com os autovalores na diagonal principal. Como podemos garantir a existência dos dois autovalores necessários para diagonalizar, então podemos garantir que nossa matriz é diagonalizável.

Resposta

Letra (a).

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.