Sejam n   ≥   1   um inteiro e A   ∈   M n ( R ) . Considere as seguintes afirmações:

1- se a matriz A   for diagonalizável, então a transposta da matriz A também será diagonalizável;

2- se o polinômio caracterıstico de A tiver n raízes reais distintas, então a matriz A será diagonalizável;

3- se a matriz A for inversível é diagonalizável, então a matriz A - 1 também será diagonalizável.

Assinale a alternativa correta:

  1. apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
  2. apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
  3. apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;
  4. todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
  5. apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa envolve a teoria de diagonalização de matrizes. Vamos revisar esse conceito.

A é diagonalizável se A pode ser escrita da forma

A = P D P - 1

Onde D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de A e P a matriz onde as colunas são os autovetores de T , onde os autovetores precisam estar na mesma ordem dos seus respectivos autovalores em D .

Além disso, existem algumas condições para que nossa matriz seja diagonalizável. Mas a mais geral diz que:

A dimensão do auto espaço associado ao autovalor a tem que ser igual a multiplicidade algébrica do valor. Ou seja, se temos 3 autovalores repetidos, digamos, iguais a C , então a dimensão gerada pelos autovetores associados a esse autovalor tem que ser 3 . Show? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Começando pela primeira afirmação ela diz que se a matriz A   for diagonalizável, então a transposta da matriz A também será diagonalizável.

Bem, se A é diagonalizável, então

A = P D P - 1

Logo,

A t = ( P D P - 1 ) t

= ( P t ) - 1 D P t

Logo é diagonalizável.

Passo 3

Vamos para a afirmação 2 . Se o polinômio caracterıstico de A tiver n raízes reais distintas, então a matriz A será diagonalizável. Bem se o polinômio característico tem n raízes distintas. Então teremos n autovetores distintos. Ou seja, a dimensão do auto espaço associado ao autovalor a é igual a multiplicidade algébrica do valor. Logo A será diagonalizável.

Afirmação verdadeira

Para finalizar. Vamos para a terceira afirmação. Que diz que se a matriz A for inversível é diagonalizável, então a matriz A - 1 também será diagonalizável. Bem, sabemos que

A   =   P   D P - 1

pois é diagonalizável. Defina B = P   D - 1 P - 1 .

Dessa forma, temos que

A B = P   D P - 1 P   D - 1 P - 1 = I

e

B A = P   D - 1 P - 1 P   D P - 1 = I

Ou seja, B é a inversa de A , e é diagonalizável. Logo a afirmação é verdadeira.

Com isso chegamos a conclusão que todas as afirmações são verdadeiras

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.