Seja fixado um sistema de coordenadas Σ   =   ( O ,   B ) no plano, com B

uma base ortonormal. Denote por A o conjunto formado pelos números

reais a para os quais a equação

x 2   -   2 a x y   +   5 y 2   =   10

representa uma elipse. Assinale a alternativa correta:

  1. A   = { a   ∈   R   :   | a |   < √ 5 } ;
  2. A   = { a   ∈   R   :   a > 20 } ;
  3. A = R
  4. A = { }
  5. A = { a   ∈   R   : a = 0   o u     | a | > √ 5 } ;

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual qual a condição para a para que a equação

  x 2   -   2 a x y   +   5 y 2   =   10

seja uma elipse. Como vamos fazer isso? Vamos usar o processo de diagonalização de matrizes para reescrever a equação acima.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é reescrever a nossa equação como produto de Matrizes. Então temos que

  x 2   -   2 a x y   +   5 y 2   =   10

pode ser reescrita como

Vamos reescrever essa matriz, que chamaremos de A , na sua forma diagonal, isto é, se essa matriz pode ser escrita na forma   P   D P - 1 . Onde D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de A e P a matriz onde as colunas são os autovetores de A , onde os autovetores precisam estar na mesma ordem dos seus respectivos autovalores em D .

Mas porque vamos fazer isso? Ora se

A = P D P - 1

⇒ D = P - 1 A P

E trabalhar com matrizes diagonais é mais simples.

Então, vamos começar calculando os autovalores de A . Como A é:

seus autovalores serão dados pelas raízes do polinômio característico

p ( x ) = ( 1 - x ) ( 5 - x ) - a 2

que são:

3 - a 2 + 4

3 + a 2 + 4

Passo 3

Bem, como comentamos no passo anterior, precisamos fazer uma mudança de base. Que base vamos tomar? Vamos dizer que

( x , y ) = P ( x ' , y ' ) T

onde P , é a matriz contendo os autovetores normalizados de A . Fazendo isso, temos que:

e como nossos autovalores são

3 - a 2 + 4

3 + a 2 + 4

Então

( x ' , y ' ) D ( x ' , y ' ) T = x ' 2 ( 3 - a 2 + 4 ) + y ' 2 ( 3 + a 2 + 4 )

fazendo mais algumas manipulações chegamos que

= x ' 2 ( 3 - a 2 + 4 ) + y ' 2 ( 3 + a 2 + 4 )

agora, quando a equação abaixo representa uma elipse?

x ' 2 ( 3 - a 2 + 4 ) + y ' 2 ( 3 + a 2 + 4 ) = 10

Para ser uma elipse, precisamos que os coeficientes que acompanham x '   e   y ' sejam positivos. Ou seja que

( 3 + a 2 + 4 ) > 0

( 3 - a 2 + 4 ) > 0

Como o primeiro é sempre positivo. Precisamos verificar a condição apenas no segundo coeficiente. Então temos,

( 3 - a 2 + 4 ) > 0

isolando a

( 3 > a 2 + 4 )

elevando ao quadrado,

( 9 > a 2 + 4 )

Logo,

- 5 < a < 5

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.