Q3. Seja k ∈ R e considere o operador linear T : R 3 → R 3 tal que

T c a n = 1 1 k 0 1 k 0 1 1

Em que can denota a base canônica de R 3 . Temos que T será diagonalizável se, e somente se:

a) k ≤ - 1 ;

b) k ∈   ] - 1,1 [ ;  

c) k ≥ 1 ;

d) k > 0 ;

e) k ≤ - 2 .

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos achar pra quais valores de k o operador linear T é diagonalizável.

Pra isso vamos precisar lembrar do teorema que diz que T é diagonalizável se, e somente se:

i) o polinômio característico de T possui todas as suas raízes reais;

ii) a multiplicidade algébrica de cada autovalor de T é igual a sua multiplicidade geométrica.

Passo 2

Para achar o polinômio característico fazemos:

det ⁡ T - λ I = 0

1 - λ 1 k 0 1 - λ k 0 1 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ 1 - λ - k 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ 2 - k = 0

1 - λ 1 - 2 λ + λ 2 - k = 0

Passo 3

Daí vem o pulo do gato pra resolver a questão...

O item ii) do teorema nos diz que queremos ter todos os autovalores diferentes.

Olhando pro polinômio característico já temos um autovalor meio que fácil de calcular que é quando λ - 1 = 0 e o autovalor será λ = 1 .

Para os outros dois autovalores queremos valores diferentes de 1, então k ≠ 0 .

E como é uma equação do segundo grau

λ 2 - 2 λ + 1 - k = 0

podemos analisar o Delta. Pra ter valores diferentes, então Δ ≠ 0 .

Juntando com o item i) do teorema, só queremos os valores reais, então Δ > 0 .

Δ > 0

b 2 - 4 a c > 0

- 2 2 - 4 1 1 - k > 0

4 - 4 + 4 k > 0

k > 0

Letra d)

Resposta

d

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.