Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear e suponha que 1,3 , 5 ,   ( 2 ,   - 3 ,   7 ) e ( 5 ,   9 ,   3 ) sejam autovetores de T correspondentes respectivamente aos autovalores 2 , 1 e 9 . Temos que o determinante da matriz que representa T com respeito à base canônica de R 3 é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 18
  2. 40
  3. 36
  4. 15
  5. 20

Passo 1

Faaala, galerinha! Tratamos aqui de diagonalização da matriz da transformação. Saiba que 3 autovalores distintos implicam 3 autovalores L.I. de forma que existe uma base – L.I. – de autovetores para R 3 . Isto implica que a matriz é diagonalizável, isto é:

A = P D P - 1

Onde D é matriz diagonal com os autovalores e P é a matriz cujas colunas são os autovetores:

D = 2 0 0 0 1 0 0 0 9                                     P = 1 2 5 3 - 3 9 5 7 3

Passo 2

Sabendo disso, temos:

det ⁡ A = det ⁡ P D P - 1

= det ⁡ P det ⁡ D det ⁡ P - 1

= det ⁡ P det ⁡ D 1 det ⁡ P

= det ⁡ D

= 2 ⋅ 1 ⋅ 9

= 18

Uma vez que o determinante de matrizes diagonais/triangulares é o produto dos elementos da diagonal principal.

Resposta

  1. 18

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.