Sejam n um inteiro positivo, V um espaço vetorial complexo de dimens ao n , T   :   V   →   V um operador linear e S   :   V   →   V o operador linear definido por

S   =   T   ◦   T   +   I

Assinale a alternativa contendo uma afirmação que NÃO é necessariamente verdadeira:

(a) T   ◦   S   =   S   ◦   T ;

(b) se S for o operador nulo, então T será bijetor;

(c) se λ   ∈   C for um autovalor de T , então λ 2   +   1 será um autovalor de S ;

(d) se T for diagonalizável, então S será bijetor;

(e) se o polinômio característico de T tiver n raízes reais distintas, então S

será bijetor.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações NÃO são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!

Vamos começar verificando as afirmações mais simples. Essa é sempre uma tática boa para ser utilizada em provas!!! Vamos começar pela letra d ) . Ela diz que se T for diagonalizável, então S será bijetor;

Bem, será que é sempre verdade? Bem como nossa matriz está nos complexos. Vamos supor que T é uma matriz diagonal com suas entradas iguais a i (se é diagonal é diagonalizável). Dessa forma, temos que:

T   ◦   T   +   I = T 2 + I

= - I + I

= 0

Logo, a matriz S seria a matriz nula. Que não é um operador bijetivo. Ou seja, a afirmação nem sempre é verdadeira.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.