Sejam a ∈ R , V um espaço vetorial de dimensão 5 e T   : V → V um operador linear cujo polinômio característico seja:

p T t = - ( t 3 - a t ) ( t 2 - 4 )

Pode-se afirmar que:

  1. Se a < 0 , então T não será diagonalizável;
  2. Se a = 4 , então T será diagonalizável;
  3. T é injetor;
  4. dim ⁡ K e r T ≥ 2 ;
  5. Se a ≥ 4 , então T será diagonalizável.

Passo 1

Faaaalem, meus consagrados! Para garantir diagonalizabilidade, devemos primeiro garantir que as raízes do polinômio característico p T t = - t ( t 2 - a ) ( t 2 - 4 ) são todas reais. De fato, isto ocorre para a ≥ 0 . Logo, ( a ) está correta, pois se a < 0 , então T não será diagonalizável.

Passo 2

Como t = 0 é raiz de p T ( t ) de multiplicidade 1 , dim ⁡ K e r ( T ) = 1 , então as alternativa ( d ) é falsa. Ainda, uma vez que dim ⁡ K e r ( T ) ≠ 0 , T não é injetora e ( c ) é falsa.

Ademais, caso a = 4 , o operador T será diagonalizável se e somente se dim ⁡ K e r T - 2 I = 2 e

dim ⁡ K e r T + 2 I = 2 , logo as alternativas ( b ) e ( e ) são falsas.

Resposta

  1. Se a < 0 , então T não será diagonalizável;

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.