Seja A uma matriz qualquer.

Assinaline a alternativa FALSA:

a   Se A é inversível então A T é inversível

b   Se A é injetora então A T é injetora

c   Se A é simétrica então A T é simétrica

d   Se A é diagonalizável então A T é diagonalizável

Passo 1

Vamos letra por letra:

a   Se uma matriz A é inversível, então det ⁡ A ≠ 0 .

Mas sabemos que det ⁡ A = d e t ⁡ ( A T ) .

Assim, det ⁡ A T ≠ 0 , e portanto A T é inversível também.

Passo 2

Sabemos que se A é injetiva, então N u c A = 0 → .

Considere que A 3 × 2 , por exemplo.

Ela equivale a uma transformação A : R 2 → R 3 .

Sabemos que:

dim ⁡ N u c ( A ) + dim ⁡ I m A = dim ⁡ R 2 = 2

0 + dim ⁡ I m ( A ) = 2

dim ⁡ I m ( A ) = 2

Isso é possível, já que o contradomínio é R 3 , e I m A ⊂ R 3 .

Agora olha só o que acontece com A T !!!

Sabemos que A T nesse caso é 2 × 3 , e equivale a uma função linear A T : R 3 → R 2 :

dim ⁡ N u c ( A ) + d i m   I m A = dim ⁡ R 3 = 3

Será que o núcleo de A T também é vetor nulo?

0 + dim ⁡ I m ( A ) = 3

Mas se o contradomínio é R 2 então I m ( A ) ⊂ R 2 e portanto p o s t o A ≤ 2 .

Mas se o núcleo for 0 → então o posto de A é 3 !!!

Por isso concluímos que que N u c A T ≠ 0 e portanto A T não é injetora. A letra ( b ) é falsa.

Passo 3

Essa é tranquila!

Se A é simétrica, então A T = A . Elas são a mesma matriz!

Então A T é simétrica também.

Passo 4

Opa, eu falei que aquela dica ia ser útil! Se uma matriz A é diagonalizável sabemos que A T também é, fim de papo.

A letra ( d ) é verdadeira.

Resposta

Letra ( b )

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.