Sejam T : R 3 → R ³ o operador linear cuja matriz relativamente à base canônica de R 3 é a b c 0 a d 0 0 e , em que a , b , c , d , e são números reais que satisfazem a ≠ e . Então

a) T é diagonalizável se e = 0

b) T é diagonalizável se c = 0

c) T é diagonalizável se b = 0

d) T não é diagonalizável

e) T é diagonalizável se d = 0

Passo 1

Oii pessoal, tudo tranquilo? Vamos lá pra mais uma questão de álgebra?

Aqui vamos falar sobre a diagonalização de uma transformação linear

Temos uma transformação linear T em que a matriz dela em relação à base canônica é

a b c 0 a d 0 0 e

E aí queremos saber para qual das condições dadas nas alternativas podemos discutir uma diagonalização dessa matriz.

Galera, pra que essa matriz 3 × 3 seja diagonalizável, precisamos encontrar uma base de 3 autovetores.

Ou seja: vamos encontrar os autovalores e os autovetores associados a cada um. A matriz só vai ser diagonalizável se tivermos um total de 3 autovetores LI (porque a matriz é 3 × 3 )

Então vamos?

Passo 2

Temos essa matriz:

a b c 0 a d 0 0 e

Vamos começar encontrando os autovalores - calculando o polinômio característico e igualando a 0

A - λ I = a - λ b c 0 a - λ d 0 0 e - λ

Calculando o determinante:

det ⁡ A - λ I = a - λ b c 0 a - λ d 0 0 e - λ a - λ b 0 a - λ 0 0 = a - λ . a - λ . e - λ

Igualando o polinômio característico a 0 :

a - λ . a - λ . e - λ = 0

As raízes dessa equação são λ = a (de ordem dupla) e λ = e

Então esses são os nossos autovalores :P

Agora vamos encontrar os autovetores. Para que a matriz tenha uma base com 3 autovetores, precisamos encontrar uma base de 2 autovetores associados ao autovalor a (porque ele é de ordem dupla). Se tivermos menos do que isso, não vai ser diagonalizável

Passo 3

Então vamos encontrar os autovetores associados ao autovalor a :

A - a . I = a - a b c 0 a - a d 0 0 e - a

A - a . I = 0 b c 0 0 d 0 0 e - a

Os autovetores ( x , y , z ) vão satisfazer essa igualdade:

0 b c 0 0 d 0 0 e - a x y z = 0 0 0

Multiplicando as matrizes:

b y + c z d z e - a . z = 0 0 0

Que nos dá o sistema:

b y + c z = 0 d z = 0 e - a . z = 0

Como a é um autovalor de ordem dupla, precisamos encontrar uma base de 2 autovetores LI associados a ele. Ou seja, o sistema acima precisa ser possível indeterminado (para ter mais de uma solução)

Isso vai acontecer se b = 0 , porque aí vamos ter:

0 . y + c z = 0 d z = 0 e - a . z = 0

c z = 0 d z = 0 e - a . z = 0

E ficamos com as variáveis livres x e y , o que vai nos dar uma solução com dimensão 2 (uma relacionada a cada variável)

Portanto, temos que a matriz é diagonalizável se b = 0 , alternativa C

Resposta

c) T é diagonalizável se b = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.