15. Considere a base B = 1 ,   77 ,   45 , 0 ,   9 ,   33 , 0 ,   0 ,   877 de R 3 e o operador linear T : R 3 → R 3 tal que:

T B = 3 - 1 1 1 1 1 1 3 1

Assinale a alternativa correta:

(a) T é diagonalizável e os autovalores de T são 2 , 3 + 17 2 e 3 - 17 2 ;

(b) T não é diagonalizável e os autovalores de T são 2 , 17 e -   17 ;

(c) T não é diagonalizável e os autovalores de T são 2 e 1 ;

(d) T é diagonalizável e os autovalores de T são 2 e 5 ;

(e) T é diagonalizável e os autovalores de T são 2 , 17 e -   17 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos um operador linear T dado na base B como

T B = 3 - 1 1 1 1 1 1 3 1

E nosso objetivo é dizer se T é diagonalizável e quais são seus autovalores...

E aí, tem ideia do que fazer? 👀

Um operador linear possui sempre os mesmos autovalores, independente da base, então para obter os autovalores de T , fazemos det ⁡ T B - λ I = 0 .

E a partir do polinômio característico e dos autovalores encontrados, podemos dizer se T é diagonalizável ou não.

Bora lá! 😊

Passo 2

Calculando o determinante, temos

3 - λ - 1 1 1 1 - λ 1 1 3 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ 1 - λ - 1 + 3 - 1 - λ + 1 - λ - 3 3 - λ = 0

- λ 3 + 5 λ 2 - 4 λ - 4 = 0

E daqui, tiramos que as raízes desse polinômio, são

λ 1 = 2 ,     λ 2 = 3 + 17 2 ,     λ 3 = 3 - 17 2

Ou seja, encontramos três autovalores para T !

Sabemos que se o grau do polinômio característico for o mesmo número de autovalores, então quer dizer que a matriz é diagonalizável!

Portanto, vemos que a alternativa correta é a letra a)

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

(a) T é diagonalizável e os autovalores de T são 2 , 3 + 17 2 e 3 - 17 2 ;

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.