Sejam 2   e - 5 autovalores de A , uma matriz 3 × 3 . Qual, dentre as condições abaixo, NÃO garante que a matriz A é diagonalizável?

  1. A não possui inversa.
  2. A possui inversa.
  3. dim ⁡ n u c l e o A + 5 I = 2 .
  4. dim ⁡ n u c l e o A - 4 I = 1 .

Passo 1

Iradoso galerinha, pra gente garantir que uma matriz A n × n   é diagonalizável, precisamos ter certeza que ela possui uma base de AUTOVETORES para R n , ou seja, para nossa matriz A 3 × 3 precisamos garantir que ela possui 3 autovetores distintos, para que ela seja diagonalizável.

Só que o enunciado já nos deu dois autovalores, 2 e - 5 , e como cada autovalor possui pelo menos 1 autovetor associado (podendo ter mais de 1 ), já temos a certeza que nossa matriz A possui pelo menos 2 autovetores. Então a informação que NÃO nos garantir a existência de mais um autovetor, será a alternativa correta.

Passo 2

Belezoca, na letra (a), ele diz que A não possui inversa. Quando uma matriz quadrada não possui inversa, podemos garantir que:

det ⁡ ( A ) = 0

E se o determinante da matriz é nulo, sempre vamos ter que a dimensão do núcleo da matriz é DIFERENTE de 0 , tal que:

dim ⁡ n u c A ≠ 0

MAASS, se a dimensão do núcleo é diferente de 0 , o sistema homogêneo da matriz A , possui infinitas soluções, tal que:

A v → = 0 →

Onde v → é um vetor diferente de 0 → , dessa forma v → é o autovetor associados ao autovalor 0 :

A v → = 0 v →

Logo, o fato da matriz não possuir inversa, implica na existência do autovalor 0 e em consequência disso temos a existência de um autovetor associado a ele. Portanto podemos completar nosso trio de autovetores para R 3 , e nossa matriz seria diagonalizável. Letra errada.

Passo 3

Já na letra (b), ele diz apenas que A possui inversa. E nesse caso a dimensão do núcleo serio igual a 0 , tal que:

dim ⁡ n u c A = 0

O que não implica na existência do autovalor 0 , e nem de nenhum outro autovalor. E a matriz ser invertível, também não interfere na dimensão dos autoespaços associados a 2 e - 5 , ou seja, com essa iformação não conseguimos definir quantos autovetores nossa matriz A possui. Logo ela é nossa famigerada resposta certa.

Passo 4

E só pra garantir, podemos testar as outras afirmativas. Pra calcularmos a dimensão do autoespaço da matriz A associado a um autovalor λ usamos a relação:

dim ⁡ A - λ I

Na letra (c), ele diz que:

dim ⁡ n u c l e o A + 5 I = 2

Ou melhor:

dim ⁡ n u c l e o A - - 5 I = 2

Ou seja, o autoespaço associado ao autovalor - 5 possui dimensão dois, logo temos 2 autovetores associados - 5 e somado com o autovetor associado 2 , completamos o trio de autovetores necessários para diagonalizar a matriz.

Passo 5

Da mesma maneira, na letra (d), quando ele diz que dim ⁡ n u c l e o A - 4 I = 1 , na verdade ele ta querendo dizer que a matriz A possui o autovetor - 4 , e esse autovetor tem um autoespaço de dimensão 1 , isto é, apenas 1 autovetor associado. E somado com os outros autovetores de 2 e - 5 formamos uma base para R 3 que garante a diagonalização de A .

Resposta certa, letra (b)

Resposta

Letra (b)

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.