Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T :   V → V um operador linear diagonalizável. Suponha que o polinômio característico de T seja p T t = t 754 e considere as seguintes afirmações:

  1. O operador T é nulo;
  2. dim ⁡ V = 754 ;
  3. Existem infinitas bases B de V tais que a matriz T B seja diagonal.

Assinale a alternativa correta:

  1. Todas as afirmações são verdadeiras;
  2. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
  3. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
  4. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;

Passo 1

Faaaala, galerinha! Vamos analisar as afirmações. Acerca do polinômio característico, temos que seu grau equivale à dimensão do espaço vetorial V e suas raízes são os autovalores de T . Logo,

dim ⁡ V = 754

E 0 é seu único autovalor de T , com multiplicidade 754.

Passo 2

Como T é diagonalizável, podemos escrever:

[ T ] = P D P - 1

Onde P é a matriz cujas colunas são 754 autovetores que compõem uma base de V e D é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os autovalores de T . Assim:

D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 … … … … 0 0 … λ 754 = 0 0 … 0 0 0 … 0 … … … … 0 0 … 0 = O 754

Tal que:

T = P O 754 P - 1 = O 754 P - 1 = O 754

Logo, T é de fato o operador nulo.

Passo 3

E ainda, seja P B a matriz de mudança de base da base canônica para uma base qualquer B de V . Pela teoria de mudança de base, teremos que:

T B = P B T P B - 1

Como T = O 754 , teremos T B = O 754 . Assim, para qualquer base B de V , teremos T B = O 754 diagonal.

Podemos, pois, concluir que todas as afirmações são verdadeiras.

Resposta

  1. Todas as afirmações são verdadeiras;

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Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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