Considere o espaço vetorial R 2 munido do seu produto interno usual. Seja T   :   R 2   →   R 2 a transformação linear tal que

em que B é a base de R 2 dada por:

B   =   { ( 1 ,   2 ) , ( 1 ,   1 ) } .

Considere as seguintes afirmações:

(I) T é simétrico;

(II) T possui dois autovalores distintos;

(III) T ́ é diagonalizável.

Assinale a alternativa correta:

Assinale a alternativa correta:

(a) todas afirmações são necessariamente verdadeiras;

(b) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;

(c) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

(d) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras

(e) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!

Começando pela primeira. Ela diz que T é simétrico. Bem, vamos descobrir que é T , isto é, a nossa transformação na base canônica.

Bem temos que,

T c a n = [ I ] C a n   ← B   T B [ I ] B ← C a n

Como B   =   { ( 1 ,   2 ) , ( 1 ,   1 ) } .

Seja e 1 e e 2 os vetores da base lacônica de R 2 .   Então, pela definição de [ I ] B ← C a n , temos:

[ I ] B ← C a n = [ [ e 1 ] B   [ e 2 ] B ]

E temos que

[ I ] c a n ← B = ( [ I ] B ← C a n ) - 1

Passo 2

Agora podemos calcular T . Como

E [ I ] B ← C a n é

então

T c a n = [ I ] C a n   ← B   T B [ I ] B ← C a n

Que não é simétrica. Logo a primeira afirmação é falsa. E, ao olharmos as alternativas, vimos que isso implica que a segunda e terceira afirmações são verdadeiras. Logo a resposta é a alternativa d

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.