Sejam a ,   b ,   c   ∈   R tais que   2   e   4 sejam os autovalores da matriz A

A = a c c b

e seja fixado um sistema de coordenadas   Σ   =   ( O ,   B ) no plano, com   B   uma

base ortonormal. Considere a elipse de equação:

a x 2   +   b y 2   +   2 c x y   =   1

Uma equação reduzida para essa elipse é:

  1. u 2 2 + v 2 4 = 1
  2. 2 u 2 + 2 v 2 = 1
  3. 2 u 2 + v 2 = 1
  4. 4 u 2 + 2 v 2 = 1
  5. u 2 2 + v 2 2 = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bacana pois é sobre formas quadráticas!!!! Como de costume, vamos anotar as informações do enunciado.

Nossa matriz A

A = a c c b

Tem autovalores 2   e   4

E temos a elipse com equação:

a x 2   +   b y 2   +   2 c x y   =   1

Queremos a equação reduzida da elipse. Isto é queremos escrever essa equação na forma

u 2 a 2   +   v 2 b 2 =   1

Passo 2

Nosso objetivo é escrever a equação da elipse de modo que ela fique na forma

u 2 a 2   +   v 2 b 2 =   1

Mas como fazemos isso?

Vamos usar a diagonalização!!!! Mas como assim???? Vem comigo!!!

a equação da elipse pode ser reescrita da seguinte forma:

( x , y ) A ( x , y ) T   =   1

Então se conseguíssemos escrever A como uma matriz diagonal, o termo cruzado ( 2 c x y ) iria desaparecer. Mas A é uma matriz quadrada, simétrica, e temos seus autovalores. Logo, existe uma base onde A é diagonal.

A pergunta agora é: Que base é essa? E como fica A nessa nova base?

Passo 3

Para responder as perguntas que fizemos no passo anterior, vamos lembrar que como A é diagonalizável, então

A   =   P D P - 1

Então

P - 1 A P   =   D

Normalizando os autovetores, temos que:

P T A P   =   D

com D matriz diagonal onde suas entradas são os autovalores de A

Tá, mas como usamos isso a nosso favor? Vamos fazer a seguinte mudança de base:

( x , y ) T   = P ( u , v ) T  

Vamos substituir isso na nossa expressão. Ela fica:

( u , v ) P T A P ( u , v ) T   =   1

então:

( u , v ) D ( u , v ) T   =   1

Passo 4

Prontinho, agora só precisamos desenvolver a expressão

( u , v ) D ( u , v ) T   =   1

Lembrando que D é:

D =   4 0 0 2

então

( u , v ) D ( u , v ) T   =   1

⇒ 4 u 2   +   2 v 2   =   1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

4 u 2   +   2 v 2   =   1

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.