Sabe-se que A é uma matriz 5 × 5 diagonalizável e que seus autovalores são apenas 2 ,   3 e 4 . A única opção que PODE SER correta é:

  1. dim ⁡ i m a g e m A = 3
  2. dim ⁡ n u c l e o A - 2 I = 3
  3. dim ⁡ i m a g e m A = 4
  4. dim ⁡ n u c l e o A - 2 I = 4

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, pra gente ter certeza que uma matriz A n × n é diagonalizável, precisamos garantir que ela tenha uma base de autovetores para R n . O enunciado nos deu que a matriz é A 5 × 5 e possui os autovalores 2 ,   3   e   4 . Cada autovetor, garante a existência de pelo menos 1 autovetor (podendo ter mais de 1 ). Então sabemos que pelo menos 3 autovetores nós já possuímos.

Mas como estamos em R 5 precisamos de 5 autovetores para ter certeza que a matriz é diagonalizável. Então a informação que nos garantir a existência desses autovetores, será a resposta certa.

Passo 2

Para encontrar a dimensão do autoespaço associado a um autovalor λ de A , fazemos:

dim ⁡ N u c A - λ I

Ou seja, dimensão do núcleo da matriz A - λ I é igual a dimensão do autoespaço associado λ .

Na letra (a), ele diz que que dim ⁡ i m a g e m A = 3 , só que isso não interfere em nada nas relações com os autovetores, então não podemos garantir nada com essa informação. Logo a letra (c) também é falsa.

Passo 3

Já na letra (b), ele diz que dim ⁡ n u c l e o A - 2 I = 3 , ou seja, a dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 , é igual a 3 . Logo, o autovalor possui 3 autovetores associados a ele, e somados com os dois autovetores associados a 3 e 4 , completamos os cincos autovetores necessários para diagonalizar a matriz A .

Passo 4

Já na letra (d), ele diz que dim ⁡ n u c l e o A - 2 I = 4 . Isso quer dizer que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 , agora é igual a 4 , ou seja, o autovalor 2 possui 4 autovetores associados. Mas e agente somar com os outros dois autovetores associados a 3 e 4 , ficaríamos com 6 autovetores, o que é impossível, já que estamos em R 5 (um espaço de dimensão 5 ). Por isso a letra (c) está errada. Resposta certa, letra (b).

Resposta

Letra (b)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.