Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a.1) Se T :   R 3 → R 3 é uma transformação linear tal que seu polinômio característico é p λ = - λ 3 - 4 λ ,   então T é diagonalizável.

(a.2) Se T :   R 3 → R 3 uma transformação linear tal que seu polinômio característico é p λ = - λ 3 - 4 λ ,   então d i m ( I m ( T ) ) =   2 .

Passo 1

a.1)

Preciso ter uma base de autovetores para o R 3 para que T seja diagonalizável .Vou reorganizer esse polinômio característico pra gente conseguir visualizar melhor:

p λ = - λ 3 - 4 λ

p λ = - λ λ 2 - 4

Assim, conseguimos ver com mais facilidade quais vão ser as raízes, ou seja, os autovalores.

λ 1 = 0 ,     λ 2 = 2 ,     λ 3 = - 2

Como cada autovalor tem o seu autoespaço correspondente, teremos 3 autoespaços diferentes pertencentes ao domínio, o R 3 .

Como os autoespaços são não vazios, necessariamente, tem dimensão maior que 1 o que faz com que tenhamos 3 autoespaços de dimensão igual a 1, cada um correspondente a um autovalor!

Os vetores geradores desses três espaços formam um conjunto de 3 vetores L I , ou seja, uma base do R 3 , tornando T diagonalizável.

É verdadeira.

Passo 2

a.2)

O polinômio característico aqui é igual ao de a.1), logo os autovalores são os mesmos. Sei também que tenho um autovalor zero e o autoespaço correspondente a esse autovalor vai ser sempre o núcleo.

Além disso, vimos que os 3 autoespaços terão dimensão 1, logo:

dim ⁡ N u c T = 1

Assim, pelo TNI:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = 3

dim ⁡ I m T = 3 - 1 = 2

Logo, a afirmativa é verdadeira!

Resposta

a.1)   Verdadeira

a.2)   Verdadeira

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.