QUESTÃO EXTRA

Seja A uma matriz quadrada, não-nula, e talque A v → . v → = 0 ,   ∀ v → :

  1. A é simétrica
  2. A é invertível
  3. A possui um autovalor positivo
  1. Apenas I é verdadeira
  2. Todas são falsas
  3. Apenas II é falsa
  4. Apenas III é verdadeira
  5. Apenas II é verdadeira
  6. Todas são verdadeiras
  7. Apenas I é falsa

Passo 1

Belezoca galerinha, o enunciado disse pra gente que A v → . v → = 0 para todo v → , ou seja, o produto interno entre A v → e v → resulta em zero. Então pra ficar mais bonitinho a gente pode escrever assim:

A v → , v → = 0

E sabendo disso, ele quer que a gente verifique as seguintes afirmativas:

  1. A é simétrica
  2. A é invertível
  3. A possui um autovalor positivo

Mas vamos fazer o seguinte, primeiro vamos entender o que o produto interno ser igual a 0 vai implicar, e a partir disso a gente julga as afirmativas se elas estão mentindo ou não. Então cola aqui comigo!!

Passo 2

Show de bolinhas galera, esse produto interno ser igual á 0 , pode implicar em 3   coisas saca só:

  1. O vetor v → é igual ao vetor nulo, v → = 0 → . Dessa forma A pode ser qualquer matriz que a igualdade A v → , v → = 0 seria verdadeira.
  2. O vetor v → é um autovetor associado ao autovalor λ = 0 , tal que:
  3. A v → = λ v →

    A v → = 0 v →

    A v → = 0

    Dessa forma a matriz A poderia possuir o autovalor λ = 0 , que a igualdade A v → , v → = 0 seria verdadeira.

  4. A matriz A rotaciona o vetor v → 90 °   da sua posição inicial, fazendo com que A v → e v → agora sejam ortogonais, e o produto interno entre vetores ortogonais sempre resulta em 0 . Logo A pode ser uma matriz rotação, e o detalhe importante é que matrizes rotações permitem a existência de autovalores complexos, do conjunto dos Imaginários. Dessa forma A v → , v → = 0 também é possível.

Iradoso galera, então quer dizer que não podemos afirmar quem é a matriz A , mas conseguimos descobrir algumas possibilidades para seus autovalores, isto é, sabemos que A pode possuir o autovalor 0 , e também pode possuir autovalores complexos.

Passo 3

Belejóia, agora que a gente virou o mestre das probabilidades, podemos analisar as afirmativas, saca só:

Na afirmativa (I), ele jura com todas as forças, que A é uma matriz simétrica. MAAAASSS matrizes simétricas SEMPRE são diagonalizáveis, tal que para diagonalizar uma matriz precisamos estritamente que ela tenha autovalores reais. Só que vimos no Passo 2, que existe a possibilidade da nossa matriz ser uma rotação, o que possibilitaria a existência de autovalores complexos, e nesse caso nossa matriz A não seria diagonalizável fazendo também com que nossa matriz A não seja simétrica. Portanto, como não podemos afirmar que ela é simétrica, nossa afirmativa (I) é falsa.

Agora na afirmativa (II), ele tá convicto que a matriz A é invertível. E para inverter uma matriz, precisamos garantir que a dimensão do núcleo de A é igual a 0 :

dim ⁡ N u c A = 0

Só que no nosso Passo 2, vimos que existe a possibilidade da matriz A possuir o autovalor 0 . E se isso acontecer vamos ter que:

A v → = 0 →

Onde v → é o autovetor associado a λ = 0 , logo esse autovetor vai estar no núcleo de A , fazendo com que:

dim ⁡ N u c A ≠ 0

Portanto, também não podemos garantir que a matriz A é invertível. Fazendo da nossa afirmativa (II) falsa também.

E agora na (III), cansado de mentir pra gente, ele diz que A possui um autovalor positivo. Maaas a gente viu que podemos ter o autovalor 0 , ou também podemos ter autovalores complexos. Isso quer dizer que podemos muito bem, ter apenas o autovalor 0 acompanhado de outros autovalores negativos, como podemos também ter os autovalores complexos acompanhados somente de autovalores negativos. Ou seja, ão existe nada que garante a existência de autovalores positivos na matriz A , então por último mas não menos mentirosa, nossa afirmativa (III) é falsa!!!

Portanto, todas nossas 3 afirmativas são falsas. Resposta certa, letra (b).

Resposta

Letra (b).

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.