Seja A uma matriz n × n . Considere as afirmações abaixo:

(I) Se as colunas de U formam uma base do R n composta por autovetores de A então existe D diagonal tal que A U = U D .

(II) As matrizes A e A T tem os mesmos autovalores.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Se as colunas de U são vetores que formam uma base de R n , então U tem colunas LI.

Isso significa que:

det ⁡ U ≠ 0

E U é invertível.

Se aplicamos U - 1   à direita dos dois lados da igualdade:

A U = U D

A U U - 1 = U D U - 1

A = U D U - 1

Opa, e foi isso que a gente viu em diagonalização!

Se uma matriz A tem uma base de autovetores, então ela pode ser escrita como o produto

P D P - 1

Com D diagonal (com autovalores na diagonal principal) e P a matriz formada pelos autovetores nas colunas.

Por isso essa afirmação é verdadeira.

Passo 2

(II) Lembra que:

det ⁡ A = λ 1 λ 2 … λ n

E vimos também que:

det ⁡ A = det ⁡ A T

Logo:

det ⁡ A T = λ 1 λ 2 … λ n

E as duas matrizes têm os mesmos autovalores, portanto a afirmação também é verdadeira.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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