Considere as afirmativas:

  1. Se T : R 6 → R 6 possui 6 autovalores distintos então T é diagonalizável.
  2. Se R : R 5 → R 5 é diagonalizável então R possui 5 autovalores distintos.
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é falsa e (II) é falsa.
  3. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  4. (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Passo 1

Show de bola galerinha bonita, pra gente ter certeza que uma transformação T : R n → R n é diagonalizável, precisamos garantir que existe uma base de autovetores para R n . Sabendo disso, na afirmativa (I), ele diz que se T : R 6 → R 6 possui 6 autovalores distintos então T é diagonalizável.

Bom galerinha, cada autovalor da transformação garante a existência de pelo menos 1 autovetor associado a ele. Logo se temos 6 autovalores, vamos possuir pelo menos 6 autovetores, e como estamos em R 6 quer dizer que possuímos exatamente 6 autovetores, o que garante que T é diagonalizável. Afirmativa verdadeira.

Passo 2

Já na afirmativa (II), ele diz que se R : R 5 → R 5 é diagonalizável então R possui 5 autovalores distintos. MAAASS, 5 autovetores distintos não necessariamente quer dizer 5 autovalores distintos, porque por exemplo podemos ter um autovalor com 3 autovetores associados ele, e outro autovalor com 2 autovetores associados que ainda assim teríamos os 5 autovetores 3 + 2 necessários para diagonalizar a matriz, mas só teríamos 2 autovalores distintos. Logo a afirmativa (II) é falsa. Resposta certa, letra (d).

Resposta

Letra (d)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.