Suponha, por simplicidade, que todo brasileiro ou vive no Brasil ou vive na Europa. Todo ano, 30 % dos brasileiros que vivem no Brasil emigram para a Europa, e 20 % dos brasileiros que vivem na Europa imigram de volta para o Brasil. Qual será a percentagem aproximada do conjunto total de brasileiros que, em dez anos, estarão vivendo na Europa?

  1. 60 % .
  2. 45 % .
  3. 51 % .
  4. 75 % .

Passo 1

Show de bolinhas galeraaa, vamos analisar esse enunciado com calma, primeiro ele diz pra gente supor que só existem brasileiros vivendo na Europa e no Brasil, até aí beleza. Ele continua dizendo que todo ano, 30 % dos brasileiros que vivem no Brasil se mudam para Europa, e além disso 20 % dos brasileiros que vivem na Europa, voltam a morar no Brasil. Sabendo disso ele pede pra gente calcular a percentagem aproximada do total de brasileiros que vão estar vivendo na Europa em dez anos.

Mas calma lá meu aprovado, como queremos encontrar uma percentagem que depende de dois fatores, isto é, depende dos brasileiros que vivem na Europa e dos brasileiros que vivem no Brasil, podemos usar uma matriz pra nos ajudar.

Saca só, nossas duas variáveis são:

E = n °     b r a s i l e i r o s   q u e   v i v e m   n a   E u r o p a

B = n °     b r a s i l e i r o s   q u e   v i v e m   n o   B r a s i l

Então temos E ,   B . E a matriz que queremos é:

A E B = E F B F

Onde E F e B F são o número de brasileiros que vivem na Europa e no Brasil no ano seguinte. Vamos chamar então a matriz A de Matriz Ano Seguinte, porque ela pega a percentagem de brasileiros de um ano E B e nos fornece a percentagem e brasileiros do ano seguinte E F B F .

Dessa forma, como queremos estimar o valor daqui a dez anos, podemos aplicar essa matriz ano seguinte, 10 vezes seguidas, desse jeito:

A × A × A × A × A × A × A × A × A × A E B =   E 10 B 10

Logo, queremos a matriz no expoente 10 , desse jeito:

A 10 E B = E 10 B 10

Então isso quer dizer que se a gente conseguir encontrar essa matriz A , podemos elevar ela a potência de 10 e assim encontrar nossos valores.

Então bora lá encontrar essa matriz A .

Passo 2

Saca só, aqui a gente pode usar de toda malicia que a Algebra nos permite. Vamos supor que aconteceu alguma coisa muito ruim no Brasil, e que 100 % dos brasileiros morassem na Europa. Nesse caso, teriamos:

E ,   B = 1 ,   0

O número 1 significa que todos os brasileiros estão morando na Europa, 100 % . E em consequência disso o 0 quer dizer que não existe ninguém morando no Brasil, 0 % . Então se a gente aplicasse a Matriz Ano Seguinte, sabemos que 20 % dos brasileiros que moram na Europa, voltariam para o Brasil, isto é:

A E B ⇒ A 1 0

A 1 0 = 0,8 0,2

Onde 0,8 representa os 80 % de brasileiros que ainda ficaram na Europa, o 0,2 representa os 20 % que voltaram.

Show, agora vamos fazer o contrário e supor que todos os brasileiros moram de fato no Brasil, 100 % do total. Logo:

E ,   B = 0 ,   1

E agora quando a gente aplica a Matriz Ano Seguinte, temos que 30 % dos brasileiros que moram no Brasil se mudam para a Europa, então a representação em matriz fica assim:

A 0 1 = 0,3 0,7

Onde o 0,3 representa os 30 % de brasileiros que se mudaram para a Europa, enquanto o 0,7 representa os 70 % dos brasileiros que ainda continuaram no Brasil. Portanto, as informações que a gente conseguiu com isso é:

A 1 0 = 0,8 0,2           e               A 0 1 = 0,3 0,7

Juntando um pouquinho essas matrizes, temos :

A 1 0 0 1 = 0,8 0,2 0,3 0,7

Isso quer dizer que podemos reescrever essa igualdade como:

A 1 0 0 1 = 0,8 0,3 0,2 0,7

E a malandragem aqui é que 1 0 0 1 é a matriz identidade, que é conhecida por ser o elemento neutro da multiplicação entre matrizes, isto é, qualquer matriz multiplicada pela identidade resulta na própria matriz, logo:

A = 0,8 0,3 0,2 0,7

Passo 3

Xuxu beleza, tá começando a ficar bonito. Agora que encontramos a Matriz Ano Seguinte, podemos elevar ela a potência de 10 pra ver como a matriz vai se comportar daqui 10 anos. Então queremos:

A 10 = 0,8 0,3 0,2 0,7 10

Mas peraí, porque a gente não precisa fazer essa multiplicação 10 vezes seguidas com essa matriz cheia de números decimais. A gente pode fazer a decomposição espectral para diagonalizar. Essa decomposição espectral é dada por:

A = P D P - 1

Onde D é matriz diagonal que possui os autovalores de A na diagonal principal, e P é a matriz que possui os respectivos autovetores nas colunas, na mesma ordem dos autovalores encontrados em D . A gente faz isso quando estamos interessados em elevar a matriz a uma potência razoavelmente difícil de ser feita na mão (como o nosso caso de potência igual 10 ), porque a potência pode ser escrita como:

A 10 = P D 10 P - 1

E uma matriz diagonal é MUITO mais tranquilo de elevar a uma potência.

Legal fera, dito isso, precisamos encontrar esses autovalores. MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro mais uma vez, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de números decimais, podemos usar dois bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.

O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor

Saca só, na nossa matriz A = 0,8 0,3 0,2 0,7 , se a gente somar as colunas, vamos ter que:

0,8 + 0,2 = 1

0,3 + 0,7 = 1

E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a 1 , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor 1 .

**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).

Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir o outro. E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra é que:

A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores

Saca só, como a matriz é 2 × 2 , vamos possuir dois autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de λ 1 e λ 2 . Logo a soma dos autovalores é:

λ 1 + λ 2

Já para nossa matriz A = 0,8 0,3 0,2 0,7 , a soma da diagonal principal é:

0,8 + 0,7 = 1,5

Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:

λ 1 + λ 2 = 1,5

E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale   λ 1 = 1 , logo:

1 + λ 2 = 1,5

λ 2 = 0,5

Passo 4

Belezoca, agora que a gente descobriu os autovalores, bora descobrir os autovetores. E pra isso a gente usa a relação:

A v = λ v

Onde v = x ,   y é o nosso autovetor. Logo para λ 1 = 1 , temos:

A v 1 = 1 v 1

0,8 0,3 0,2 0,7 x y = x y

Resolvendo a multiplicação, temos que:

0,8 x + 0,3 y = x 0,2 x + 0,7 y = y

Logo, passando o x e y para o outro lado do igual:

- 0,2 x + 0,3 y = 0 0,2 x - 0,3 y = 0

E as duas linhas são exatamente iguais só que com sinais trocados, então:

0,2 x - 0,3 y = 0

0,2 x = 0,3 y

x = 0,3 0,2 y

x = 3 2 y

Então nosso primeiro autovetor é:

x ,   y = 3 2 y ,   y = y 3 2 ,   1

Portanto o autovetor associado a λ 1 = 1 é:

v 1 = 3 2 ,   1

Agora para λ 2 = 0,5 repetimos o processo.

A v 2 = λ 2 v 2

A v 2 = 0,5 v

0,8 0,3 0,2 0,7 x y = 0,5 x 0,5 y

Resolvendo a multiplicação, temos que:

0,8 x + 0,3 y = 0,5 x 0,2 x + 0,7 y = 0,5 y

Logo, passando o x e y para o outro lado do igual:

0,3 x + 0,3 y = 0 0,2 x + 0,2 y = 0

E novamente as duas linhas são iguais, tal que:

0,2 x + 0,2 y = 0

x = - y

Dessa forma nosso segundo autovetor é:

v 2 = x ,   y = - y ,   y

v 2 = y - 1 ,   1

v 2 = - 1 ,   1

Portanto nossos dois autovetores são:

v 1 = 3 2 ,   1 ,     v 2 = - 1 ,   1

Passo 5

Calma que tá acabando galera, finalmente podemos expressar nossa decomposição, ela vai ser do tipo:

A = P D P - 1

Lembrando que D é matriz diagonal que possui os autovalores de A na diagonal principal, e P é matriz que possui os respectivos autovetores nas colunas, na mesma ordem dos autovalores encontrados. Então:

D = λ 1 0 0 λ 2 = 1 0 0 0,5

P = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ = 3 / 2 - 1 1 1

Então nossa decomposição fica assim:

A = P D P - 1

0,8 0,3 0,2 0,7 = 3 / 2 - 1 1 1 1 0 0 0,5 3 / 2 - 1 1 1 - 1

E pra calcular a inversa de uma matriz, podemos usar o algoritmo:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Logo, para nossa matriz P , temos que:

3 / 2 - 1 1 1 - 1 = 1 3 2 - - 1 1 1 - 1 3 / 2

3 / 2 - 1 1 1 - 1 = 2 5 1 1 - 1 3 / 2

Portanto, podemos reescrever novamente nossa decomposição como:

0,8 0,3 0,2 0,7 = 2 5 3 / 2 - 1 1 1 1 0 0 0,5 1 1 - 1 3 / 2

Então para a potência de 10 , vamos ter:

0,8 0,3 0,2 0,7 10 = 2 5 3 / 2 - 1 1 1 1 0 0 0,5 10 1 1 - 1 3 / 2

E o mais legal aqui é que a matriz diagonal, tem a propriedade de poder passar o expoente para dentro da diagonal, desse jeito:

1 0 0 0,5 10 = 1 10 0 0 0,5 10  

Logo:

0,8 0,3 0,2 0,7 10 = 2 5 3 / 2 - 1 1 1 1 10 0 0 0,5 10   1 1 - 1 3 / 2

E agora, só pra não perder o costume da malandragem, podemos lembrar que 1 10 é igual a 1 mesmo, e o mais sagaz de tudo é que 0,5 10 é um número TÃO tão TÃO pequeno que se aproxima muito de 0 , a ponto de podermos substituir 0,5 10 por 0 , desse jeito:

0,8 0,3 0,2 0,7 10 = 2 5 3 / 2 - 1 1 1 1 0 0 0   1 1 - 1 3 / 2

Portanto, daqui a 10 anos, nossa Matriz Ano Seguinte, vai se comportar de tal maneira que é representada pela matriz:

A 10 = 2 5 3 / 2 - 1 1 1 1 0 0 0   1 1 - 1 3 / 2

Resolvendo essa multiplicação, temos que:

A 10 = 1 5 3 3 2 2

Passo 6

Então se a gente aplicar essa Matriz Ano Seguinte, nas nossas variáveis E , B vamos obter:

A 10 E B = E 10 B 10

1 5 3 3 2 2 E B = E 10 B 10

Como queremos saber apenas os brasileiros que vivem na Europa, vamos fazer para E ,   B = 1 ,   0 . Logo:

1 5 3 3 2 2 1 0 = 3 / 5 2 / 5

E 10 B 10 = 3 / 5 2 / 5

Então quer dizer E 10 = 3 / 5 . Isto é, a porcentagem de brasileiros que vivem na Europa após 10 anos é igual a 3 / 5 , ou melhor, igual a 0,6 que é o famoso 60 % . Dessa forma depois de 3 dias resolvendo essa questão, descobrimos que daqui a 10 anos, 60 % dos brasileiros irão viver na Europa.

Resposta certa: alternativa (a), 60 % .

Resposta

Letra (a), 60 % .

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