A dimensão da imagem de A é 2 e seu polinômio característico é p λ = - λ 2 λ - 1 . Assinale a alternativa VERDADEIRA

( a ) A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 1 é igual a 2

( b ) A matriz A é diagonalizável

( c ) det ⁡ A + I = 0

( d ) A dimensão do autoespaço associado ao autovalor zero é igual a 1

Passo 1

Vamos analisar letra por letra:

Letra a

Pelo polinômio característico, o autovalor 1 tem multiplicidade algébrica 1 . Logo, sua multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço associado ao autovalor) pode ser no máximo igual a 1 e nunca 2 .

Letra b

O polinômio de A é do terceiro grau, logo, A é 3 × 3 . Pelo T N I , como a dimensão da imagem de A é 2 a dimensão do núcleo tem de ser 1 .

Para que A seja diagonalizável, precisamos que a soma das dimensões dos autoespaços de A seja igual a 3 . Logo, para respeitar o limite da multiplicidade algébrica, o autoespaço associado ao 0 m . a . = 2 teria que ter dimensão 2 e o associado ao 1 m . a . = 1 teria que ter dimensão 1 .

Mas o autoespaço associado ao 0 é justamente o núcleo da matriz! E vimos que a dimensão dele é apenas 1 , e não 2 . Logo, A não é diagonalizável.

Letra c

Para calcular os autovalores de A resolvemos:

det ⁡ A - λ I = 0

Logo, se temos det ⁡ A + I = 0 , isso quer dizer que λ = - 1 é autovalor de A . Mas ele não é raiz do polinômio característico, então isso é impossível. Essa é falsa.

Letra d

Como vimos na letra b , a dimensão do núcleo de A é 1 . Como o núcleo é justamente o autoespaço associado ao autovalor 0 , a afirmativa está correta.

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.