Considere o espaço vetorial R 3 munido do seu produto interno usual e seja T   :   R 3   →   R 3 o operador linear tal que

em que B denota a base

B   =   { ( 2,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) , ( 0,0 , 1 ) }

de   R 3 . Assinale a alternativa correta:

(a) T é diagonalizável e não é simétrico;

(b) T não é diagonalizável;

(c) T é simétrico;

(d) existe uma base ortonormal C de R 3 tal que a matriz [ T ] c é diagonal;

(e) T é diagonalizável e não é invertível.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual das afirmações são verdadeiras. Bora resolver essa questão!!!

Bem, temos que

B   =   { ( 2,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) , ( 0,0 , 1 ) }

Mas queremos saber coisas sobre T , vamos representar T na base canônica. Isto é queremos encontrar [ T ] c a n . Temos que

T c a n = [ I ] C a n   ← B   T B [ I ] B ← C a n

Sejam e 1 e e 2 e e 3 os vetores da base lacônica de R 3 .   Então, pela definição de [ I ] B ← C a n , temos:

[ I ] B ← C a n = [ [ e 1 ] B   [ e 2 ] B [ e 3 ] B ]

E temos que:

[ I ] c a n ← B = ( [ I ] B ← C a n ) - 1

Passo 2

Agora, vamos fazer as contas.

T c a n = [ I ] C a n   ← B   T B [ I ] B ← C a n

= ( [ I ] B ← C a n ) - 1   T B [ I ] B ← C a n

Daqui, já podemos ver que T não é simétrica. Mas será que é diagonalizável?

Vamos começar calculando o polinômio característico de T . Por definição, ele é:

p ( x ) = d e t ( T - x I )

= ( x - 2 ) 2 ( x - 5 )

Temos um autovalor com multiplicidade 2 , então, para T ser diagonalizável, os autovetores associados ao autovalor 2 precisam formar um espaço de dimensão 2 .

Passo 3

Calculando os autovetores associados ao autovalor 2 temos:

k e r ( T - 2 I ) =

Olhando para as colunas dessa matriz, vemos que temos 2 linhas L D , logo a dimensão do núcleo será 2 , ou seja, a dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é 2 . Dessa forma, podemos concluir que T é diagonalizável.

Logo a alternativa correta é a letra a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.