Sejam A 1 e A 2 ∈   M 5 ( R ) e considere as seguintes afirmações:

  1. Se A 1 e A 2 são semelhantes, então qualquer autovalor de A 1 é autovalor de A 2
  2. Se T 1 : R 5 → R 5 e T 2 : R 5 → R 5 são operadores lineares β uma base de R 5 , [ T 1 ] β   =   A 1 e [ T 2 ] β   =   A 2 e se A 1 e A 2 são semelhantes então todo autovetor de T 1 também é autovetor de T 2 .
  3. Se A 1 e A 2 possuem os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades algébricas, então A 1 e A 2 são semelhantes.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin, dessa vez uma questão teórica.

Nosso objetivo nessa questão é verificar quais afirmações são verdadeiras. Então vamos lá!!!

Passo 2

Vamos começar pela afirmação mais fácil, a 3. Ela diz o seguinte:

Se A 1 e A 2 possuem os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades algébricas, então A 1 e A 2 são semelhantes.

Segundo ela, temos duas matrizes quadradas 5   x   5 , A 1 e A 2 . Daí, se essas matrizes possuírem os mesmos autovalores e com as mesmas multiplicidades algébricas, podemos afirmar que elas são semelhantes? É isso que vamos verificar...

E aí, vocês acham que é verdade? Como podemos verificar essa afirmação?

Bem, primeiro, vamos revisar a definição de matrizes semelhantes.

Uma matriz A é dita semelhante a uma matriz B se existe uma matriz M tal que:

A   =   M - 1 B M

Essa definição parece com a definição de matriz diagonalizável, né?

Suponha que A 1 seja da forma:

e A 2 matriz nula.

Ambas as matrizes tem o polinômio característico dado por:

p ( t )   =   - t 5

Mas essas matrizes não são semelhantes, pois A 1 não é diagonalizável enquanto que A 2

é uma matriz diagonal.

Logo a afirmação 3 é falsa.

Passo 3

Agora vamos checar a primeira afirmação: Ela diz que se A 1 e A 2 são semelhantes, então qualquer autovalor de A 1 é autovalor de A 2 . Será que é verdade? Vamos provar!!!

Para isso, precisamos mostrar que os polinômios característicos de duas matrizes semelhantes são iguais. Como o polinômio característico de uma matriz é dado por

p ( t )   =   d e t ( A   -   t I )

temos:

(como A 1 e A 2 são semelhantes)

A 1   =   M - 1 A 2 M

então:

p A 2 ( t )   =   d e t ( A 2   -   t I )

(usando o fato que d e t ( M - 1 )   =   1 / d e t ( M M ) )

det ⁡ A 1 = d e t ( M - 1 ) * d e t ( A 2   -   t I ) * d e t ( M )

= d e t ( M - 1 * ( A 2   -   t I ) * M )

(multiplicando)

= d e t ( M - 1 A 2 M   -   M - 1 t I M )

(pela semelhança)

= d e t ( A 1   -   t I )

p A 1 ( t )

Ou seja, os polinômios característicos de duas matrizes semelhantes são iguais. Logo a primeira afirmação é verdadeira

Passo 4

Para finalizar a questão, vamos verificar a afirmação 2. Ela diz o seguinte:

Se T 1 : R 5 → R 5 e T 2 : R 5 → R 5 são operadores lineares e β uma base de R 5 , [ T 1 ] β   =   A 1 e [ T 2 ] β   =   A 2 e se A 1 e A 2 são semelhantes então todo autovetor de T 1 também é autovetor de T 2 .

Vamos dar um contra exemplo para essa afirmação.

Sejam A 1 e A 2 as seguintes matrizes

A 1 e A 2 são semelhantes ( A 2 é a diagonalização de A 1 ), Mas o vetor ( 0,1 , 0,0 , 0 ) é autovetor de A 1 e não de A 2 .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

1)

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.