Considere as bases do R 2

γ = - 1,1 , - 1,0

σ = 0,1 , - 1 , - 1

E a transformação linear T : R 2 → R 2 cuja matriz na base γ é:

T γ = 3 - 2 1 - 1

(c) Escreva, se possível, uma forma diagonal de T.

Passo 1

Se T for diagonalizável (possuir 2 autovalores reais e distintos), então existe uma base α na qual a matriz T tem representação diagonal D.

Essa matriz diagonal D possui os elementos da diagonal principal iguais aos autovalores de T.

A base na qual isso ocorre é uma base formada pelos autovetores de T.

Sabendo disso, vamos resolver a questão.

Passo 2

(c) As matrizes T γ ,   T σ e T ε (onde ε é a base canônica do R 2 ) são semelhantes, então elas têm os mesmos autovalores.

Vamos achar então os autovalores da matriz T γ que foi dada.

Para isso, fazemos que:

det ⁡ T γ - λ I = 0

3 - λ - 2 1 - 1 - λ = 0

λ 2 - 2 λ - 1 = 0

λ 1 = 1 + 2

λ 2 = 1 - 2

Então T tem autovalores reais e distintos, logo é diagonalizável e existe uma base na qual T tem representação diagonal.

Há duas representações diagonais possíveis:

1 + 2 0 0 1 - 2

Ou

1 - 2 0 0 1 + 2

Resposta

(c) 1 + 2 0 0 1 - 2 ou 1 - 2 0 0 1 + 2

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