Exercícios Resolvidos de Diagonalização

Curso de Álgebra Linear, Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Golfeld, página 211 Prob. 7.12

Considere Equation . Determine Equation e Equation tais que:

Equation

Equation

Passo 1

A questão nos pede para escrevermos matrizes Equation de acordo com as equações. E o que essas equações te lembram?

Diagonalização!! Isso mesmo, então sabemos que Equation é diagonalizável e ele quer que a gente descubra as matrizes dos autovetores que faltam! Mas tem uma diferença entre as duas letras. Repare que a ordem nas diagonais estão trocadas, isso também altera a ordem dos autovetores. Sendo assim, vamos aos cálculos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Sabendo que temos dois autovalores diferentes, calculá-los:

Para Equation :

Equation

Equation

Bom assim, temos que nosso autoespaço será:

Equation

E assim:

Equation

E já era de se esperar que a dimensão fosse Equation , já que o autovalor se repete duas vezes.

Para Equation :

Equation

Equation

E assim:

Equation

Equation

Passo 3

Agora já podemos montar nossa matriz de autovetores! Como o autovalor Equation vem primeiro na matriz diagonal:

Equation

Passo 4

Equation Aqui vamos usar o mesmo procedimento da letra Equation , como já sabemos os autovetores basta seguir a ordem da matriz diagonal e como ordem dos autovalores é Equation :

Equation

OBS: A ordem dos autovetores associados ao Equation não importa.

Resposta

Equation

Equation

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