Considere a matriz

A = 1 2 - 2 0 - 1 1 - 4 0 0

Afirmamos que existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que

P - 1 A P = D

Qual dos itens abaixo nos dá P e D corretas?

( a ) P = 0 - 3 - 3 1 1 2 1 4 - 4 e D = - 3 0 0 0 3 0 0 0 0

( b ) P = 0 - 3 - 3 1 1 2 1 4 - 4 e D = 0 0 0 0 3 0 0 0 - 3

( c ) P = - 3 0 - 3 1 1 2 4 1 - 4 e D = - 3 0 0 0 3 0 0 0 0

( d ) P = - 3 0 - 3 1 1 2 4 1 - 4 e D = 0 0 0 0 3 0 0 0 - 3

Passo 1

Po ta meio confusa essa fórmula né? Vamos por num formato mais familiar pra gente:

P - 1 A P = D

P P - 1 ⏟ I A P = P D

A P P - 1 ⏟ I = P D P - 1

A = P D P - 1

Opa, bem melhor! Essa é nossa matriz A diagonalizada. Ou seja, P é a matriz de autovetores e D é a matriz de autovalores!

Então é só testarmos os autovetores de P e ver quais estão associados aos autovalores certos. Lembrando que a ordem que eles aparecem em P deve ser a mesma que aparecem em D !

1 2 - 2 0 - 1 1 - 4 0 0 0 1 1 = 0 0 0

Bom, podemos ver que o vetor 0,1 , 1 é autovetor associado ao autovalor 0 . A única opção que diz isso é a b então ela tem que ser a correta.

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.