Considere a matriz A = 1 0 0 - 1 1 - 1 1 0 2 .

a Determine os autovalores de A .

b Para cada autovalor λ determine uma base para o autoespaço V λ correspondente (subespaço associado ao autovalor λ ).

c T é diagonalizável? Se sim, escreva uma base β do R 3 onde T é diagonalizável e determine a matriz T β β .

Passo 1

a Calculando os autovalores:

1 - λ 0 0 - 1 1 - λ - 1 1 0 2 - λ = 0

1 - λ 2 2 - λ = 0

λ = 1 , 1   o u   2

Passo 2

b Encontrando os autoespaços:

V 1 :

0 0 0 - 1 0 - 1 1 0 1 0 0 0

Temos então que:

- x - z = 0 x + z = 0

Daí temos que x = - z e y é livre, então o vetor genérico desse espaço é:

x , y , - x = x 1,0 , - 1 + y 0,1 , 0

Logo, uma base para V 1 é 1 , 0 , - 1 , 0,1 , 0 .

V 2 :

- 1 0 0 - 1 - 1 - 1 1 0 0 0 0 0

Temos que:

x = 0 - x - y - z = 0 x = 0

Logo, y = - z e x = 0 e o vetor genérico desse espaço é:

0 , y , - y = y 0,1 , - 1

Então uma base para V 2 é 0 , 1 , - 1 .

Passo 3

c Como a soma das dimensões dos autoespaços é igual à dimensão do domínio, 2 + 1 = 3 , temos que A é diagonalizável. A base β tal que T β β seja diagonal é a base de autovetores:

β = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0 , 0,1 , - 1

E a matriz T β β será uma matriz diagonal de autovalores:

T β β = 1 0 0 0 1 0 0 0 2

Obs.: Lembre-se de respeitar a ordem dos autovetores na base!!

Resposta

a λ = 1,1   o u   2

b Uma base para V 1 é 1 , 0 , - 1 , 0,1 , 0 . Uma base para V 2 é 0 , 1 , - 1 .

c Sim. β = 1,0 , - 1 , 0,1 , 0 , 0,1 , - 1 . T β β = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 .

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.