Considere o plano π em R 3 que passa pela origem de equação cartesiana

π : 2 x - y - 2 z = 0

e a transformação linear E : R 3 →   R 3 espelhamento (ou reflexão) em relação ao plano π . Denote por E ε a matriz de E na base canônica.

(d) Seja B uma matriz ortogonalmente diagonalizável. Mostre que B = B T .   Para isso lembre da forma L M N T = N T M T L T .

(e) Considere uma transformação linear M : R 3 → R 3 que tem uma base ortonormal de autovetores e determinante 0. Seja:

A matriz de M na base canônica. Determine os valores de a,b,c e d.

Passo 1

(d) Se B é ortogonalmente diagonalizável, então podemos escrever:

B = Q D Q T

Com D diagonal e Q ortogonal.

Transpondo os dois lados dessa igualdade:

B T = Q D Q T T

Usando a fórmula de transposta do produto dada no enunciado:

B T = Q T T D T Q T

Mas:

Q T T = Q

D T = D

Então:

B T = Q D Q T = B

∴ B T = B

Passo 2

(e) Vimos no item anterior que se M tem uma base ortonormal de autovetores, significa que M é ortogonalmente diagonalizável e portanto simétrica.

Ou seja:

M T = M

Daí achamos os valores:

b = 2

c = 0

d = 0

Para achar a, vamos usar que o determinante de M é 0.

Calculando esse cara:

2 a - 4 = 0

a = 2

Resposta

(d) Demonstração.

(e) a = 2 ,   b = 2 , c = 0 , d = 0

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