Considere a reflexão R : R 3 → R 3   com relação à reta r   =   { t ( 3 ,   1 ,   1 ) | t   ∈ R } .

(a) Determine os autovalores de R   e os respectivos autoespaços.

(b) Determine a matriz canônica de R , ou seja, a matriz R ε onde ε = { ( 1 ,   0 ,   0 ) , ( 0 ,   1 ,   0 ) , ( 0 ,   0 ,   1 ) } .

(c) Determine N u c ( R ) e I m ( R ) .

(d) Diagonalize ortogonalmente R ε , ou seja, encontre uma matriz D diagonal, uma matriz P ortogonal e sua inversa tais que R ε   = P D P - 1 .

(e) Calcule R ε 20 e R ε 21 .

Passo 1

a)Como R é uma reflexão, sei que seus autovalores vão ser 1 e - 1 . O 1 associado a reta em que estamos refletindo e - 1 associado ao seu complemento ortogonal! Isso porque os vetores pertencentes a reta permanecem os mesmos e os do complemento ortogonal são invertidos.

Assim, λ = 1 → V λ = 1 =   t 3 ,   1 ,   1 t   ∈ R .

Agora precisamos achar o complemento ortogonal de   r . Como estamos no R 3 , sei que a soma da dimensão do espaço com a dimensão do complemento desse espaço deve ser 3:

dim ⁡ V λ = 1 + dim ⁡ V λ = - 1 = 3

Sei que   V λ = 1 é uma reta, então sua dimensão vai ser 1:

1 + dim ⁡ V λ = - 1 = 3

dim ⁡ V λ = - 1 = 2

Ou seja, o complemento vai ser um plano, e tenho o vetor ortogonal a esse plano, então sei que sua equação vai ser:

3 x + y + z = 0

y = - z - 3 x

x , y , z = x , - z - 3 x , z = x 1 , - 3,0 + z 0 , - 1,1

Como esses dois vetores encontrados formam um conjunto L I , podemos dizer que eles geram nosso espaço.

Passo 2

b)Vamos achar essa transformação, primeiro juntando as coisas que eu já tenho:

T 3,1 , 1 = 3,1 , 1

T 1 , - 3,0 = - 1,3 , 0

T 0 , - 1,1 = ( 0,1 , - 1 )

Como os três vetores do domínio formam uma base para esse espaço, podemos escrever qualquer vetor como C L   deles, como os da base canônica:

1,0 , 0 = a 3,1 , 1 + b - 1,3 , 0 + c 0,1 , - 1

0,1 , 0 = d 3,1 , 1 + e - 1,3 , 0 + f 0,1 , - 1

0,0 , 1 = g 3,1 , 1 + h - 1,3 , 0 + i 0,1 , - 1

E se eu quiser saber a transformações desses vetores pra botar na minha matriz, tenho o seguinte:  

T 1,0 , 0 = a T 3,1 , 1 + b T - 1,3 , 0 + c T 0,1 , - 1 = a 3,1 , 1 + b - 1,3 , 0 + c ( 0,1 , - 1 )

T 0,1 , 0 = d T 3,1 , 1 + e T - 1,3 , 0 + f T 0,1 , - 1 = d 3,1 , 1 + e - 1,3 , 0 + f ( 0,1 , - 1 )

T 0,0 , 1 = g T 3,1 , 1 + h T - 1,3 , 0 + i T 0,1 , - 1 = g 3,1 , 1 + h - 1,3 , 0 + i ( 0,1 , - 1 )

E nossa matriz vai ser:

↑ ↑ ↑ T ( 1,0 , 0 ) T ( 0,1 , 0 ) T ( 0,0 , 1 ) ↓ ↓ ↓ = a d g b e h c f i

Passo 3

Basta acharmos os coeficientes!

1,0 , 0 = a 3,1 , 1 + b - 1,3 , 0 + c 0,1 , - 1

1 = 3 a - b 0 = a + 3 b + c 0 = a - c

Resolvendo esse sistema achamos que a = c = 3 11 e b = - 2 11 . Agora, o próximo vetor:

0,1 , 0 = d 3,1 , 1 + e - 1,3 , 0 + f 0,1 , - 1

0 = 3 d - e 1 = d + 3 e + f 0 = d - f

Resolvendo esse daqui d = e = 1 11   e f = 3 11 .

0,0 , 1 = g 3,1 , 1 + h - 1,3 , 0 + i 0,1 , - 1

0 = 3 g - h 0 = g + 3 h + i 1 = g - i

E, por fim, g = 1 11 ,     h = 3 11 e i = - 10 11 .

Logo, minha matriz vai ser:

3 11 1 11 1 11 - 2 11 1 11 3 11 3 11 3 11 - 10 11

Passo 4

c) Queremos o núcleo e imagem de uma reflexão por uma reta no R 3 .

Acontece que não existe nenhum vetor que é levado ao vetor nulo após uma reflexão que não seja o próprio vetor nulo! Podemos provar isso de outra forma também: vendo que o 0 não é autovalor!

N u c R = 0

Assim, achamos que dim ⁡ N u c R = 0 . Opa, to falando de núcleo, imagem, dimensão... o que isso lembra? O TNI! Então vamos aplicá-lo:

dim ⁡ N u c R + dim ⁡ I m R = 3

dim ⁡ I m R = 3

Bom, o contradomínio vai ser o R 3 e a imagem está contida nele. Como ela tem dimensão 3 e o R 3 também, a imagem vai ser o próprio R 3 ! Assim, uma possível base para ela é a base canônica:

I m R = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 )

Passo 5

d) Para diagonalizar a matriz R ,   preciso achar uma matriz P composta pelos autovetores nas colunas, uma matriz D ,   composta pelos autovalores na diagonal e a inversa de P .

Mas se tivermos uma base ortonormal do R 3   de autovetores em P , P - 1 = P T facilitando muito a nossa vida!

Vou achar um vetor ortogonal a 3,1 , 1 e 1 , - 3,0 fazendo o produto vetorial entre eles:

3,1 , 1 × 1 , - 3,0 = i → j → k → 3 1 1 1 - 3 0 = ( 3,1 , - 10 )

Agora, normalizando, minha base fica:

( 3,1 , 1 ) 11 ,   ( 1 , - 3,0 ) 10 , ( 3,1 , - 10 ) 110

Passo 6

Assim, posso achar as matrizes que eu preciso para diagonalizar:

P = 3 11 1 10 3 110 1 11 - 3 10 1 110 1 11 0 - 10 110

D = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

P - 1 = P T = 3 11 1 11 1 11 1 10 - 3 10 0 3 110 1 110 - 10 110

Logo a diagonalização vai ser:

R = 3 11 1 10 3 110 1 11 - 3 10 1 110 1 11 0 - 10 110 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 3 11 1 11 1 11 1 10 - 3 10 0 3 110 1 110 - 10 110

Passo 7

e) Como [ R ] é uma matriz reflexão, se eu aplicá-la um número ímpar de vezes, vai resultar a primeira reflexão, ou seja, vai ser como se eu tivesse aplicado a matriz uma vez só. Assim,   R 21 = [ R ] .

Agora, se eu refletir (aplicando 1 vez) e depois refletir novamente, acabo voltando ao vetor inicial (aplicando 2 vezes) e isso não acontece apenas quando aplico 2 vezes, mas sempre que aplico um número par de vezes! Assim, R 20 = I .

Resposta

a) V λ = 1 =   t 3 ,   1 ,   1 t   ∈ R e V λ = - 1 = { s 1 , - 3,0 + w 0 , - 1,1 | s , w ∈ R }

b)   3 11 1 11 1 11 - 2 11 1 11 3 11 3 11 3 11 - 10 11

c)   N u c R = 0 e I m R = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 = R 3

d)   R = 3 11 1 10 3 110 1 11 - 3 10 1 110 1 11 0 - 10 110 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 3 11 1 11 1 11 1 10 - 3 10 0 3 110 1 110 - 10 110

e)   R 21 = [ R ] e R 20 = I

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.