Dada a matriz A = - 1 3 3 - 1 encontre uma matriz ortogonal P tal que P T A P é diagonal.

Passo 1

Queremos achar uma matriz P ortogonal e D diagonal satisfazendo:

D = P T A P

Sabemos que D é uma matriz diagonal com autovalores na diagonal principal e a matriz P é uma matriz com os autovetores ortonormais nas colunas.

Vamos então achar os autovalores e autovetores dessa matriz.

Passo 2

Para achar os autovalores, usamos que:

det ⁡ A - λ I = 0

- 1 - λ 3 3 - 1 - λ = 0

λ 2 + 2 λ - 8 = 0

λ 1 = - 4

λ 2 = 2

Agora resolvemos o sistema homogêneo A - λ I v = 0 para cada valor de λ encontrado para acharmos os autoespaços.

Primeiro, vamos resolver para λ 1 = - 4 :

3 3 3 3 x y = 0 0

Temos então:

3 x + 3 y = 0 ⇒ y = - x

Então os autovetores vão ser da forma:

x , y = x , - x = x 1 , - 1

E o autoespaço associado a λ 1 = - 4 é:

W λ 1 = - 4 = { 1 , - 1 }

Agora vamos fazer a mesma coisa para λ 2 = 2 .  

- 3 3 3 - 3 x y = 0 0

Temos então:

3 - x + 3 y = 0 ⇒ y = x

Então os autovetores vão ser da forma:

x , y = x , x = x 1,1

E o autoespaço associado a λ 2 = 2 é:

W λ 2 = 2 = { 1,1 }

Temos então a base de autovetores { 1 , - 1 , 1,1 } .

Note que essa base já é ortogonal, pois os dois vetores são ortogonais entre si (produto interno entre eles é zero).

Para termos uma base ortonormal, esses vetores devem ser unitários.

Então basta dividir cada um deles pelas suas normas, que é 2 .

Assim, 1 2 1 , - 1 , 1 2 1,1 é base ortonormal de autovetores.

Passo 3

Agora é só montar a matriz P que foi pedida no enunciado, colocando os autovetores que achamos antes nas colunas:

P = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Resposta

P = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

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