É dado que o conjunto dos autovalores da matriz A = - 3 2 2 2 1 - 2 - 4 2 3 é - 1,1 . Então:

(a) A não é diagonalizável

(b) A é uma reflexão ortogonal

(c) A é uma reflexão não ortogonal

(d) A é uma projeção

Passo 1

Bom, a letra d) já conseguimos eliminar só de olhar os autovalores, isso porque os autovalores de uma projeção são 1,0 .

Agora vamos achar esses autoespaços:

  - 3 2 2 2 1 - 2 - 4 2 3 x y z = - 1 x y z

- 3 x + 2 y + 2 z = - x 2 x + y - 2 z = - y - 4 x + 2 y + 3 z = - z ⟶ - 2 x + 2 y + 2 z = 0 2 x + 2 y - 2 z = 0 - 4 x + 2 y + 4 z = 0

Vamos passar para a forma escalonada e resolver esse sistema:

- 2 2 2 2 2 - 2 - 4 2 4 0 0 0 → L 1 ⟶ L 1 2 - 1 1 1 2 2 - 2 - 4 2 4 0 0 0 → L 2 ⟶ L 2 + 2 L 1 L 3 ⟶ L 3 - 4 L 1 - 1 1 1 0 4 0 0 - 2 0 0 0 0

- 1 1 1 0 4 0 0 - 2 0 0 0 0 → L 3 ⟶ L 3 + L 2 2 - 1 1 1 0 4 0 0 0 0 0 0 0

Voltando para a forma de equações:

- x + y + z = 0 ⟹ z = x 4 y = 0

x , y , z = x , 0 , x = x ( 1,0 , 1 )

Logo, nosso autoespaço associado a λ = - 1 é ( 1,0 , 1 ) .

Agora vamos achar do λ = 1 :

- 3 2 2 2 1 - 2 - 4 2 3 x y z = 1 x y z

- 3 x + 2 y + 2 z = x 2 x + y - 2 z = y - 4 x + 2 y + 3 z = z ⟶ - 4 x + 2 y + 2 z = 0 2 x - 2 z = 0 - 4 x + 2 y + 2 z = 0

Vamos passar para a forma escalonada e resolver esse sistema:

- 4 2 2 2 0 - 2 - 4 2 2 0 0 0 → L 1 ⟶ L 1 2 - 2 1 1 2 0 - 2 - 4 2 2 0 0 0 → L 2 ⟶ L 2 + L 1 L 3 ⟶ L 3 - 2 L 1 - 2 1 1 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0

- 2 x + y + z = 0 ⟹ x = y y - z = 0 ⟹ z = y

x , y , z = x , x , x = x 1,1 , 1

Logo, nosso autoespaço associado a λ = 1 é 1,1 , 1 .

Passo 2

Beleza, agora vamos analisar o que temos...

λ = - 1  

V λ = - 1 = ( 1,0 , 1 )

λ = 1

V λ = 1 = 1,1 , 1

Olhando as alternativas, na primeira, já fala que essa matriz não é diagonalizável. Para ser diagonalizável, deve existir uma base do domínio formada por autovetores. Mas, juntando os autovetores, não vamos ter uma base do R 3 pois só teremos 2 vetores na base.

Logo essa matriz não é diagonalizável e a primeira alternativa está correta!

Passo 3

Mas porque a letra b) está errada?

Bom, porque por mais que os autovalores da matriz sejam iguais aos de uma reflexão ortogonal, o autovalor 1 deveria ser associado ao espaço em que estamos refletindo, que no caso seria o gerado por 1,1 , 1 ou seja, uma reta. E o autovalor λ = - 1 deveria ser associado ao complemento ortogonal dessa reta, o plano ortogonal a ela, mas vemos que esta associado a outra reta! Logo não pode ser uma reflexão.

Resposta

Letra a

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.